a)

$x^2+y^2+4x-2y=m^2+2m-4$

 

Zapiszmy równanie okręgu w postaci kanonicznej 

$\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-2y+1\right)-4-1=m^2+2m-4$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2-5=m^2+2m-4\mid +5$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\underset{=r^2}{\underbrace{m^2+2m+1}}$

 

Promień okręgu ma być równy 4, zatem r²=16. 

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma być równy 4, zatem

$m^2+2m+1=16\mid -16$

$m^2+2m-15=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$

$m_1=\frac{-2-8}{2}=-5\vee m_2=\frac{-2+8}{2}=3$

 

Wnioskujemy, że dla 

$m\in \left\{-5;3\right\}$

podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4.   

---

b)

$x^2-2x+y^2+4y=m^2-2m+3$  

 

Zapiszmy równanie okręgu w postaci kanonicznej

$\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)-1-4=m^2-2m+3$

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2-5=m^2-2m+3\mid +5$

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=\underset{=r^2}{\underbrace{m^2-2m+8}}$

 

Promień okręgu ma być równy 4, zatem r²=16.

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma być równy 4, zatem

$m^2-2m+8=16\mid -16$

$m^2-2m-8=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36,\sqrt{\Delta }=6$

$m_1=\frac{2-6}{2}=-2\vee m_2=\frac{2+6}{2}=4$

 

Wnioskujemy, że dla 

$m\in \left\{-2;4\right\}$

podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4.

---

c)

$x^2+4x+y^2-my+m^2-\frac{1}{4}m-12=0$

 

Zapiszmy równanie okręgu w postaci kanonicznej

$\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-my+\frac{m^2}{4}\right)-4-\frac{m^2}{4}+m^2-\frac{1}{4}m-12=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-\frac{m}{2}\right)}^2-16-\frac{m^2+m}{4}+m^2=0\mid +16+\frac{m^2+m}{4}-m^2$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-\frac{m}{2}\right)}^2=\underset{=r^2}{\underbrace{16+\frac{m^2+m}{4}-m^2}}$

 

Promień okręgu ma być równy 4, zatem r²=16.

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma być równy 4, zatem

$16+\frac{m^2+m}{4}-m^2=16\mid -16$

$\frac{m^2+m}{4}-m^2=0\mid \cdot 4$

$m^2+m-4m^2=0$     

$-3m^2+m=0$  

$-m\left(3m-1\right)=0$

$m=0\vee m=\frac{1}{3}$  

 

Wnioskujemy, że dla 

$m\in \left\{0;\frac{1}{3}\right\}$

podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4.