a)

Korzystając z wykresu funkcji f odczytujemy współrzędne wierzchołka funkcji f.

Otrzymujemy

$W=\left(3,2\right)$  

Funkcję f możemy więc zapisać w postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2+2$

Dodatkowo wiemy, że do wykresu funkcji należy punkt (1; 9).

Zatem 

$f\left(1\right)=9$  

skąd dostajemy, że 

$9=a\cdot {\left(1-3\right)}^2+2$  

$9=a\cdot 2^2+2$

$9=4a+2\mid -2$   

$7=4a\mid :4$  

$\frac{7}{4}=a$  

więc funkcja f wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=\frac{7}{4}{\left(x-3\right)}^2+2$

---

b)

Korzystając z wykresu funkcji kwadratowej f zauważmy, że

$f\left(2\right)=f\left(6\right)=2$

więc dostajemy, że 

$x_w=\frac{2+6}{2}=4$

zatem wzór tej funkcji kwadratowej możemy zapisać w postaci kanonicznej jako

$f\left(x\right)=a{\left(x-4\right)}^2+q$

Do wykresu tej funkcji  należą punkty np.  (1, -6) oraz (2, -2).

Zatem zachodzi f(1) = -6, f(2) = -2.

Otrzymujemy więc układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}a\cdot {\left(1-4\right)}^2+q=-6\\ a\cdot {\left(2-4\right)}^2+q=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9a+q=-6\\ 4a+q=-2\end{array}$    

rozwiążemy go np. metodą przeciwnych współczynników,

mnożymy np. pierwsze równanie przez -1 i otrzymujemy

$\{\begin{array}{l}-9a-q=6\\ 4a+q=-2\end{array}$     

po dodaniu równań stronami otrzymujemy

$-5a=4\mid :\left(-5\right)$

$a=-\frac{4}{5}$

wstawiamy wyznaczone a np. do drugiego równania i dostajemy

$4\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)+q=-2$

$-\frac{16}{5}+q=-2\mid +\frac{16}{5}$

$q=\frac{6}{5}$    

czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ q=\frac{6}{5}\end{array}$      

czyli funkcja f jest postaci

$f\left(x\right)=-\frac{4}{5}{\left(x-4\right)}^2+\frac{6}{5}$  

---

c)

Korzystając z wykresu funkcji kwadratowej f zauważmy, że

$f\left(4\right)=f\left(6\right)=\sqrt{2}$

więc dostajemy, że 

$x_w=\frac{4+6}{2}=5$

zatem wzór tej funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej możemy zapisać jako

$f\left(x\right)=a{\left(x-5\right)}^2+q$  

Zauważmy, że do wykresu tej funkcji należą punkty np.  (2, 3√2) oraz (4, √2).

Zatem zachodzi f(2) = 3√2,  f(4) = √2.

Otrzymujemy więc układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}a{\left(2-5\right)}^2+q=3\sqrt{2}\\ a{\left(4-5\right)}^2+q=\sqrt{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9a+q=3\sqrt{2}\\ a+q=\sqrt{2}\end{array}$    

rozwiążemy go np. metodą przeciwnych współczynników,

mnożymy np. pierwsze równanie przez -1 i otrzymujemy

$\{\begin{array}{l}-9a-q=-3\sqrt{2}\\ a+q=\sqrt{2}\end{array}$    

po dodaniu równań stronami otrzymujemy

$-8a=-2\sqrt{2}\mid :\left(-8\right)$

$a=\frac{-2\sqrt{2}}{-8}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

wstawiamy wyznaczone a np. do drugiego równania i dostajemy

$\frac{\sqrt{2}}{4}+q=\sqrt{2}\mid -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$q=\frac{4\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$q=\frac{3\sqrt{2}}{4}$    

czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb

$\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{2}}{4}\\ q=\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{array}$      

czyli funkcja f jest postaci

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}{\left(x-5\right)}^2+\frac{3\sqrt{2}}{4}$