a) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^2-2\ne 0$  

$\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy obie te liczby są różne od 0.

$x-\sqrt{2}\ne 0\wedge x+\sqrt{2}\ne 0$  

$x\ne \sqrt{2}\wedge x\ne -\sqrt{2}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{x-2}{x^2-2}=3\mid -3$  

$\frac{x-2}{x^2-2}-3=0$  

$\frac{x-2}{x^2-2}-\frac{3\left(x^2-2\right)}{x^2-2}=0$  

$\frac{x-2}{x^2-2}-\frac{3x^2-6}{x^2-2}=0$  

$\frac{x-2-\left(3x^2-6\right)}{x^2-2}=0$  

$\frac{x-2-3x^2+6}{x^2-2}=0$  

$\frac{-3x^2+x+4}{x^2-2}=0$  

$-3x^2+x+4=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki.

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 4=1+48=49$  

$x_1=\frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-1-7}{-6}=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}$  

$x_2=\frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-1+7}{-6}=\frac{6}{-6}=-1$  

Wobec tego:

$x\in \left\{-1,\frac{4}{3}\right\}$  

---

b) Dziedziną równania wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x+5\ne 0\wedge x^2-25\ne 0$  

$x\ne -5\wedge \left(x+5\right)\left(x-5\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy obie te liczby są różne od 0.

$x\ne -5\wedge x+5\ne 0\wedge x-5\ne 0$  

$x\ne -5\wedge x\ne 5$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-5,5\right\}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{x+3}{x+5}=\frac{2x+1}{x^2-25}\mid -\frac{2x+1}{x^2-25}$  

$\frac{x+3}{x+5}-\frac{2x+1}{x^2-25}=0$  

$\frac{x+3}{x+5}-\frac{2x+1}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$\frac{\left(x+3\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}-\frac{2x+1}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$\frac{x^2-5x+3x-15}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}-\frac{2x+1}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$\frac{x^2-2x-15}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}-\frac{2x+1}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$\frac{x^2-2x-15-\left(2x+1\right)}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$\frac{x^2-2x-15-2x-1}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$\frac{x^2-4x-16}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$  

$x^2-4x-16=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-16\right)=16+64=80$  

$x_1=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{80}}{2\cdot 1}=\frac{4-4\sqrt{5}}{2}=2-2\sqrt{5}$  

$x_2=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{80}}{2\cdot 1}=\frac{4+4\sqrt{5}}{2}=2+2\sqrt{5}$  

Wobec tego:

$x\in \left\{2-2\sqrt{5},2+2\sqrt{5}\right\}$