a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość większego ostrosłupa. Przy obliczaniu pola podstawy skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

$V_1=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \frac{9^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 10=2\cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot 10=81\sqrt{3}\cdot 5=405\sqrt{3}$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa ostrosłupa większego do ostrosłupa odciętego.

$k=\frac{9}{3}=3$  

Obliczamy objętość ostrosłupa odciętego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{405\sqrt{3}}{V_2}=3^3$  

$\frac{405\sqrt{3}}{V_2}=27\mid \cdot V_2$  

$405\sqrt{3}=27V_2\mid :27$  

$15\sqrt{3}=V_2$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=405\sqrt{3}-15\sqrt{3}=390\sqrt{3}$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość większego ostrosłupa. Przy obliczaniu pola podstawy skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

$V_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{8^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \frac{64\sqrt{3}}{4}\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 10=\frac{160\sqrt{3}}{3}$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa ostrosłupa większego do ostrosłupa odciętego.

$k=\frac{4+4}{4}=\frac{8}{4}=2$  

Obliczamy objętość ostrosłupa odciętego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{\frac{160\sqrt{3}}{3}}{V_2}=2^3$  

$\frac{\frac{160\sqrt{3}}{3}}{V_2}=8\mid \cdot V_2$  

$\frac{160\sqrt{3}}{3}=8V_2\mid :8$  

$\frac{20\sqrt{3}}{3}=V_2$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=\frac{160\sqrt{3}}{3}-\frac{20\sqrt{3}}{3}=\frac{140\sqrt{3}}{3}$  

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość większego ostrosłupa. 

$V_1=\frac{1}{3}\cdot {12}^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 10=480$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa ostrosłupa większego do ostrosłupa odciętego.

$k=\frac{10+2}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa odciętego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{480}{V_2}={\left(\frac{6}{5}\right)}^3$  

$\frac{480}{V_2}=\frac{216}{125}\mid :6$

$\frac{80}{V_2}=\frac{36}{125}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$10000=36V_2\mid :36$  

$\frac{2500}{9}=V_2$  

$277\frac{7}{9}=V_2$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=480-277\frac{7}{9}=202\frac{2}{9}$