a) Stożek przecięto płaszczyzną równoległą ...- Zadanie 7: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Pole przekroju jest 2 razy mniejsze od pola podstawy stożka, więc:

$2 \cdot π r^{2} = π R^{2} ∣ : π$

$2 r^{2} = R^{2}$

$2 r = R ∣ : r$

$2 = \frac{R}{r}$

Stosunek długości promienia podstawy stożka do długości promienia przekroju jest równy √2. Zatem skala podobieństwa wyjściowego stożka do stożka odciętego wynosi:

$k = 2$

Możemy więc zapisać:

$\frac{H}{x} = k$

$\frac{H}{x} = 2 ∣ \cdot x$

$H = x 2$

Obliczamy, w jakim stosunku płaszczyzna przekroju dzieli wysokość stożka.

$\frac{x}{H - x} = \frac{x}{x 2 - x} = \frac{x}{x ( 2 - 1 )} = \frac{1}{2 - 1}$

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Wyznaczamy objętość stożka wyjściowego.

$V_{1} = \frac{1}{3} π R^{2} H$

Wyznaczamy objętość stożka odciętego.

$V_{2} = \frac{1}{3} π r^{2} x$

Wyznaczamy objętość stożka ściętego.

$V = V_{1} - V_{2} = \frac{1}{3} π R^{2} H - \frac{1}{3} π r^{2} x = \frac{1}{3} π (R^{2} H - r^{2} x)$

Objętości otrzymanych części są takie same, więc:

$V_{2} = V$

$\frac{1}{3} π r^{2} x = \frac{1}{3} π (R^{2} H - r^{2} x) ∣ : \frac{1}{3} π$

$r^{2} x = R^{2} H - r^{2} x ∣ + r^{2} x$

$2 r^{2} x = R^{2} H ∣ : R^{2}$

$\frac{2 r ^{2} x}{R ^{2}} = H ∣ : x$

$\frac{2 r ^{2}}{R ^{2}} = \frac{H}{x}$

Stosunek długości wysokości wyjściowego stożka do długości wysokości stożka odciętego jest równy 2r²/R². Zatem skala podobieństwa wyjściowego stożka do stożka odciętego wynosi:

$k = \frac{2 r ^{2}}{R ^{2}}$

Możemy więc zapisać:

$\frac{2 r ^{2}}{R ^{2}} = \frac{R}{r} ∣ \cdot r$

$\frac{2 r ^{3}}{R ^{2}} = R ∣ \cdot R^{2}$

$2 r^{3} = R^{3}$

$32 r = R$

Wobec tego:

$k = \frac{2 r ^{2}}{R ^{2}} = \frac{2 r ^{2}}{( 3 2 r ) ^{2}} = \frac{2 r ^{2}}{3 4 r ^{2}} = \frac{2}{3 4} = \frac{2 3 2}{3 8} = \frac{2 3 2}{2} = 32$