Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego, czyli trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi $\frac{3}{2}\sqrt{3}{\text{cm}}^2,$  zatem:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{2}\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$                      

$\frac{a^2}{4}=\frac{3}{2}\mid \cdot 4$  

$a^2=6$  

$a=\sqrt{6}$  

 

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

${\left|SG\right|}^2+{\left(\left|AG\right|\right)}^2={\left|AS\right|}^2$  

Oznaczmy: R - promień szukanej kuli

Zauważmy, że AG to promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, zatem:

$\left|AG\right|=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{3}=\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$  

Zatem mamy:

${\left(\frac{1}{2}\cdot 12\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=R^2$  

$6^2+2=R^2$  

$36+2=R^2$  

$38=R^2$  

$\sqrt{38}=R$  

 

Obliczmy objętość tej kuli.

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {\sqrt{38}}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 38\sqrt{38}=\frac{152\sqrt{38}}{3}\pi \left[{\text{cm}}^3\right]$