Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:
x=0∧x+2=0
x=0∧x=−2
Zatem:
D=R\{−2,0}
Rozwiązujemy równanie.
(6−3x):xx+2=1
(6−3x)⋅x+2x=1
x+2(6−3x)⋅x=1
x+26x−3x2=1
x+26x−3x2−1=0
x+26x−3x2−x+2x+2=0
x+26x−3x2−(x+2)=0
x+26x−3x2−x−2=0
x+2−3x2+5x−2=0
−3x2+5x−2=0
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Δ=52−4⋅(−3)⋅(−2)=25−24=1
Wyznaczamy pierwiastki równania −3x2+5x−2=0.
x1=2⋅(−3)−5−1=−6−5−1=−6−6=1
x2=2⋅(−3)−5+1=−6−5+1=−6−4=32
Wobec tego:
x∈{32,1}
b) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.
Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:
5−2x=0∧3x=0
−2x=−5∧3x=0
x=25∧x=0
Zatem:
D=R\{0,25}
Rozwiązujemy równanie.
5−2x7x−1:3x=21
5−2x7x−1⋅3x1=21
(5−2x)⋅3x7x−1=21
(5−2x)⋅3x7x−1−21=0
2(5−2x)⋅3x2(7x−1)−2(5−2x)⋅3x(5−2x)⋅3x=0
2(5−2x)⋅3x14x−2−2(5−2x)⋅3x15x−6x2=0
2(5−2x)⋅3x14x−2−(15x−6x2)=0
2(5−2x)⋅3x14x−2−15x+6x2=0
2(5−2x)⋅3x6x2−x−2=0
6x2−x−2=0
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Δ=(−1)2−4⋅6⋅(−2)=1+48=49
Wyznaczamy pierwiastki równania 6x2−x−2=0.
x1=2⋅6−(−1)−49=121−7=12−6=−21
x2=2⋅6−(−1)+49=121+7=128=32
Wobec tego:
x∈{−21,32}
c) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.
Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:
x+2=0∧x+1=0∧x2−4=0
x=−2∧x=−1∧(x+2)(x−2)=0
x=−2∧x=−1∧x+2=0∧x−2=0
x=−2∧x=−1∧=2
Zatem:
D=R\{−2,−1,2}
Rozwiązujemy równanie.
x+2−2:x2−4x+1=−3
x+2−2:(x−2)(x+2)x+1=−3
x+2−2⋅x+1(x−2)(x+2)=−3
1−2⋅x+1x−2=−3
x+1−2(x−2)=−3
x+1−2(x−2)+3=0
x+1−2(x−2)+x+13(x+1)=0
x+1−2x+4+x+13x+3=0
x+1−2x+4+3x+3=0
x+1x+7=0
x+7=0
x=−7
d) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.
Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:
x=0∧2x=0∧x+1=0
x=0∧x=0∧x=−1
x=0∧x=−1
Zatem:
D=R\{−1,0}
Rozwiązujemy równanie.
xx−5:x+12x=xx+1
xx−5⋅2xx+1=xx+1
x⋅2x(x−5)(x+1)=xx+1
2x2x2+x−5x−5=xx+1
2x2x2−4x−5=xx+1
2x2x2−4x−5−xx+1=0
2x2x2−4x−5−x⋅2x(x+1)⋅2x=0
2x2x2−4x−5−2x22x2+2x=0
2x2x2−4x−5−(2x2+2x)=0
2x2x2−4x−5−2x2−2x=0
2x2−x2−6x−5=0
−x2−6x−5=0
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Δ=(−6)2−4⋅(−1)⋅(−5)=36−20=16
Wyznaczamy pierwiastki równania −x2−6x−5=0.
x1=2⋅(−1)−(−6)−16=−26−4=−22=−1∈/D
x2=2⋅(−1)−(−6)+16=−26+4=−210=−5
Wobec tego:
x=−5
e) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.
Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:
2x4−x3=0∧6x+4=0∧4x3−x=0∧x3=0
x3(2x−1)=0∧6x=−4∧x(4x2−1)=0∧x=0
x3=0∧2x−1=0∧x=−32∧x(2x−1)(2x+1)=0∧x=0
x=0∧2x=1∧x=−32∧2x−1=0∧2x+1=0
x=0∧x=21∧x=−32∧2x=−1
x=0∧x=21∧x=−32∧x=−21
Zatem:
D=R\{−32,−21,0,21}
Rozwiązujemy równanie.
2x4−x33x+2:4x3−x6x+4=x36x+3
2x4−x33x+2⋅6x+44x3−x=x36x+3
2x4−x33x+2⋅2(3x+2)4x3−x=x36x+3
2x4−x31⋅24x3−x=x36x+3
2(2x4−x3)4x3−x=x36x+3
2x3(2x−1)4x3−x−x36x+3=0
2x3(2x−1)4x3−x−x3⋅2(2x−1)(6x+3)⋅2(2x−1)=0
2x3(2x−1)4x3−x−2x3(2x−1)(6x+3)(4x−2)=0
2x3(2x−1)4x3−x−2x3(2x−1)24x2−12x+12x−6=0
2x3(2x−1)4x3−x−2x3(2x−1)24x2−6=0
2x3(2x−1)4x3−x−(24x2−6)=0
2x3(2x−1)4x3−x−24x2+6=0
2x3(2x−1)4x3−24x2−x+6=0
4x3−24x2−x+6=0
4x2(x−6)−(x−6)=0
(x−6)(4x2−1)=0
(x−6)(2x−1)(2x+1)=0
x−6=0∧2x−1=0∧2x+1=0
x=6∧2x=1∧2x=−1
x=6∧∈/Dx=21∧∈/Dx=−21
Wobec tego:
x=6
f) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.
Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:
