Rozwiąż równanie ...- Zadanie 6: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^{2} + 2 x \neq = 0 \land x^{2} - 4 \neq = 0 \land x^{2} - 2 x \neq = 0$

$x (x + 2) \neq = 0 \land (x + 2) (x - 2) \neq = 0 \land x (x + 2) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = - 2 \land x \neq = 2$

Zatem:

$D = R \ {- 2, 0, 2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{1}{x ^{2} + 2 x} + \frac{2}{x ^{2} - 4} = \frac{5}{x ^{2} - 2 x}$

$\frac{1}{x ^{2} + 2 x} + \frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{5}{x ^{2} - 2 x} = 0$

$\frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{2}{( x + 2 ) ( x - 2 )} - \frac{5}{x ( x - 2 )} = 0$

$\frac{x - 2}{x ( x + 2 ) ( x - 2 )} + \frac{2 x}{( x + 2 ) ( x - 2 ) x} - \frac{5 ( x + 2 )}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = 0$

$\frac{x - 2}{x ( x + 2 ) ( x - 2 )} + \frac{2 x}{( x + 2 ) ( x - 2 ) x} - \frac{5 x + 10}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = 0$

$\frac{x - 2 + 2 x - ( 5 x + 10 )}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = 0$

$\frac{x - 2 + 2 x - 5 x - 10}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = 0$

$\frac{- 2 x - 12}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = 0$

$- 2 x - 12 = 0$

$- 2 x = 12$

$x = - 6$

b) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$3 x^{2} + x \neq = 0 \land 3 x^{2} - x \neq = 0 \land 9 x^{2} - 1 \neq = 0$

$x (3 x + 1) \neq = 0 \land x (3 x - 1) \neq = 0 \land (3 x + 1) (3 x - 1) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 3 x + 1 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land 3 x - 1 \neq = 0 \land 3 x + 1 \neq = 0 \land 3 x - 1 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land 3 x \neq = - 1 \land 3 x \neq = 1$

$x \neq = 0 \land x \neq = - \frac{1}{3} \land x \neq = \frac{1}{3}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{5}{3 x ^{2} + x} + \frac{3}{3 x ^{2} - x} = \frac{2}{9 x ^{2} - 1}$

$\frac{5}{3 x ^{2} + x} + \frac{3}{3 x ^{2} - x} - \frac{2}{9 x ^{2} - 1} = 0$

$\frac{5}{x ( 3 x + 1 )} + \frac{3}{x ( 3 x - 1 )} - \frac{2}{( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 )} = 0$

$\frac{5 ( 3 x - 1 )}{x ( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 )} + \frac{3 ( 3 x + 1 )}{x ( 3 x - 1 ) ( 3 x + 1 )} - \frac{2 x}{( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) x} = 0$

$\frac{15 x - 5}{x ( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 )} + \frac{9 x + 3}{x ( 3 x - 1 ) ( 3 x + 1 )} - \frac{2 x}{( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) x} = 0$

$\frac{15 x - 5 + 9 x + 3 - 2 x}{( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) x} = 0$

$\frac{22 x - 2}{( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) x} = 0$

$22 x - 2 = 0$

$22 x = 2$

$x = \frac{1}{11}$

c) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x - 2 \neq = 0 \land x^{2} - 2 x \neq = 0 \land x^{2} - 3 x + 2 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x (x - 2) \neq = 0 \land x^{2} - x - 2 x + 2 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0 \land x (x - 1) - 2 (x - 1) \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = 0 \land (x - 1) (x - 2) \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = 0 \land x \neq = 1$

Zatem:

$D = R \ {0, 1, 2}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{7}{x - 2} + \frac{4}{x ^{2} - 2 x} - \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$

$\frac{7}{x - 2} + \frac{4}{x ( x - 2 )} - \frac{1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{7 x ( x - 1 )}{( x - 2 ) ( x - 1 )} + \frac{4 ( x - 1 )}{x ( x - 2 ) ( x - 1 )} - \frac{x}{x ( x - 1 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{7 x ^{2} - 7 x}{( x - 2 ) ( x - 1 )} + \frac{4 x - 4}{x ( x - 2 ) ( x - 1 )} - \frac{x}{x ( x - 1 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{7 x ^{2} - 7 x + 4 x - 4 - x}{x ( x - 1 ) ( x - 2 )} = 0$

$\frac{7 x ^{2} - 4 x - 4}{x ( x - 1 ) ( x - 2 )} = 0$

$7 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 4) = 16 + 112 = 128$

Wyznaczamy pierwiastki równania $x^{2} + 6 x - 4 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- ( - 4 ) - 128}{2 \cdot 7} = \frac{4 - 8 2}{14} = \frac{2 - 4 2}{7}$

$x_{2} = \frac{- ( - 4 ) + 128}{2 \cdot 7} = \frac{4 + 8 2}{14} = \frac{2 + 4 2}{7}$

Wobec tego:

$x \in {\frac{2 - 4 2}{7}, \frac{2 + 4 2}{7}}$

d) Najpierw określimy dziedzinę tego równania.

$x + 5 \neq = 0 \land x^{2} + 5 x \neq = 0 \land x^{2} - 25 \neq = 0$

$x \neq = - 5 \land x (x + 5) \neq = 0 \land (x + 5) (x - 5) \neq = 0$

$x \neq = - 5 \land x \neq = 0 \land x + 5 \neq = 0 \land x + 5 \neq = 0 \land x - 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5 \land x \neq = 0 \land x \neq = 5$

Zatem:

$D = R \ {- 5, 0, 5}$

Rozwiązujemy równanie.

$\frac{3}{x + 5} - \frac{5}{x ^{2} + 5 x} - \frac{6}{x ^{2} - 25} = 0$

$\frac{3}{x + 5} - \frac{5}{x ( x + 5 )} - \frac{6}{( x + 5 ) ( x - 5 )} = 0$

$\frac{3 ( x - 5 ) x}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} - \frac{5 ( x - 5 )}{x ( x + 5 ) ( x - 5 )} - \frac{6 x}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} = 0$

$\frac{3 x ^{2} - 15 x}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} - \frac{5 x - 25}{x ( x + 5 ) ( x - 5 )} - \frac{6 x}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} = 0$

$\frac{3 x ^{2} - 15 x - ( 5 x - 25 ) - 6 x}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} = 0$

$\frac{3 x ^{2} - 15 x - 5 x + 25 - 6 x}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} = 0$

$\frac{3 x ^{2} - 26 x + 25}{( x + 5 ) ( x - 5 ) x} = 0$

$3 x^{2} - 26 x + 25 = 0$

Zatem:

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 26)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 676 - 300 = 376$

Wyznaczamy pierwiastki równania $x^{2} + 6 x - 4 = 0 .$

$x_{1} = \frac{- ( - 26 ) - 376}{2 \cdot 3} = \frac{26 - 2 94}{6} = \frac{13 - 94}{3}$

$x_{2} = \frac{- ( - 26 ) + 376}{2 \cdot 3} = \frac{26 + 2 94}{6} = \frac{13 + 94}{3}$

Wobec tego:

$x \in {\frac{13 - 94}{3}, \frac{13 + 94}{3}}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.