II liceum

II technikum

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

<table style="height:171px;width:716px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:16px;"> <td style="width:711.648px;height:16px;"> Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0: <ul> <li>są równoległe, gdy A1B2-A2B1=0,</li> <li>przecinają się, gdy A1B2-A2B1≠0,</li> <li>są prostopadłe, gdy A1A2+B1B2=0.</li> </ul> </td> </tr> </tbody> </table> <hr> a) x+y−5=0,  x+y+7=0 &nbsp; A1​=1, B1​=1, C1​=−5 &nbsp; A2​=1, B2​=1, C2​=7 &nbsp; Mamy:

<table style="height:171px;width:716px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:16px;"> <td style="width:711.648px;height:16px;"> Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0: <ul> <li>są równoległe, gdy A1B2-A2B1=0,</li> <li>przecinają się, gdy A1B2-A2B1≠0,</li> <li>są prostopadłe, gdy A1A2+B1B2=0.</li> </ul> </td> </tr> </tbody> </table> <hr> a) 2x−3y+5=0,  2x−3y+1=0 &nbsp; A1​=2, B1​=−3, C1​=5 &nbsp; A2​=2, B2​=−3, C2​=1 &nbsp; Mamy: A1​B2​−A2​B1​=2⋅(−3)−2⋅(−3)=−6+6=0 &nbsp; Zatem proste są równoległe.

a) Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe, więc szukana prosta ma równanie:

Szukamy prostej w postaci: y=ax+b &nbsp; <hr> a) Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych równy jest -1, więc: a⋅(−1)=−1   ∣⋅(−1) &nbsp; a=1 &nbsp; Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

a) Przekształcamy równania prostych do postaci kierunkowej i odczytujemy ich współczynniki kierunkowe: x−y+3=0 &nbsp; x+3=y &nbsp; y=x+3 &nbsp;

<table style="height:171px;width:716px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:16px;"> <td style="width:711.648px;height:16px;"> Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0: <ul> <li>są równoległe, gdy A1B2-A2B1=0,</li> <li>przecinają się, gdy A1B2-A2B1≠0,</li> <li>są prostopadłe, gdy A1A2+B1B2=0.</li> </ul> </td> </tr> </tbody> </table> <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/acc6ef3a1b9532577ea5204c9a2c6ca2a2426bda7b7bac4b94ed53abe506b072_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/acc6ef3a1b9532577ea5204c9a2c6ca2a2426bda7b7bac4b94ed53abe506b072_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe9e54ab26a914aba41627561e2162090ed6a28babec44584ef55697b68f32e3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe9e54ab26a914aba41627561e2162090ed6a28babec44584ef55697b68f32e3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ed266b0e40d3f2e9d31ea40cbbe67b32f118f8af81a342a425f286194511023_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ed266b0e40d3f2e9d31ea40cbbe67b32f118f8af81a342a425f286194511023_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy:

<table style="height:171px;width:716px;border-collapse:collapse;background-color:#dcdcdc;" border="0"> <tbody> <tr style="height:16px;"> <td style="width:711.648px;height:16px;"> Dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0: <ul> <li>są równoległe, gdy A1B2-A2B1=0,</li> <li>przecinają się, gdy A1B2-A2B1≠0,</li> <li>są prostopadłe, gdy A1A2+B1B2=0.</li> </ul> </td> </tr> </tbody> </table> <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/de32a9e082ea4d98cfc8e4dd5bdea0d8aa5f785bb93fdc7a570a223caedeec43_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/de32a9e082ea4d98cfc8e4dd5bdea0d8aa5f785bb93fdc7a570a223caedeec43_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b2226578f095ecd47e094cdbba6e0540f2d74b0ce8f2315fcd72592351652135_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b2226578f095ecd47e094cdbba6e0540f2d74b0ce8f2315fcd72592351652135_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c63eb08d3fe6ff7ff0f4c589f0262519248e0bbf8aa5157bcfc192a70da6fa28_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c63eb08d3fe6ff7ff0f4c589f0262519248e0bbf8aa5157bcfc192a70da6fa28_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2de0196dfe115f2ddf1395a0bc0a5c0e4b404fa9ae88732e02a11ec6c5aa57c0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2de0196dfe115f2ddf1395a0bc0a5c0e4b404fa9ae88732e02a11ec6c5aa57c0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem proste są równoległe.

Szukamy prostej w postaci: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1504c9843ec9fb1fd6893face658520ff24228f9e8ec70c7a8d307f58abd8b03_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1504c9843ec9fb1fd6893face658520ff24228f9e8ec70c7a8d307f58abd8b03_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> a) Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych równy jest -1, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/391ce8f78be0843d1aa9a35d907266fbdf6176e4ec761c079a076e9b7e50bfce_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/391ce8f78be0843d1aa9a35d907266fbdf6176e4ec761c079a076e9b7e50bfce_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c22fea5d7428e5cf47ef6354c97c9223c95d6dcdc3e0d2300ff79056b1ff3d85_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c22fea5d7428e5cf47ef6354c97c9223c95d6dcdc3e0d2300ff79056b1ff3d85_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

a) Przekształcamy równania prostych do postaci kierunkowej i odczytujemy ich współczynniki kierunkowe: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9e728c814ceec07234eb9820081903bd911cc069f96a08174bbec3ee008b310a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9e728c814ceec07234eb9820081903bd911cc069f96a08174bbec3ee008b310a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d15dc140927cffd05cac565120cb84898823a399c0a3efea17cfb3f29ec7f185_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d15dc140927cffd05cac565120cb84898823a399c0a3efea17cfb3f29ec7f185_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a1631f30741044a799f668bf37406022ddba8445005dc06061318c9e0aff023e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a1631f30741044a799f668bf37406022ddba8445005dc06061318c9e0aff023e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Komentarze