Klasa
2 szko艂y 艣redniej
Przedmiot
Matematyka
Wybierz ksi膮偶k臋
Matematyka i przyk艂ady jej zastosowa艅 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019, Zbi贸r zada艅

a) Szkicujemy tr贸jk膮t ABC w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych.


Punkty A i C maj膮 t臋 sam膮 pierwsz膮 wsp贸艂rz臋dn膮 (r贸wn膮 1), wi臋c le偶膮 na prostej x=1.

Punkty A i B maj膮 t臋 sam膮 drug膮 wsp贸艂rz臋dn膮 (r贸wn膮 1), wi臋c le偶膮 na prostej y=1.

Proste x=1 i y=1 s膮 prostopad艂e, wi臋c tr贸jk膮t jest prostok膮tny i dwie wysoko艣ci zawieraj膮 boki AC i AB tr贸jk膮ta. 

Zatem dwie wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 


Trzecia wysoko艣膰 zawiera si臋 w prostej prostopad艂ej do prostej BC przechodz膮cej przez punkt A:

 

Obliczamy wsp贸艂czynnik kierunkowy prostej BC:

 

Iloczyn wsp贸艂czynnik贸w kierunkowych prostych prostopad艂ych r贸wny jest -1, wi臋c:

 

 

 

W贸wczas r贸wnanie prostej przyjmuje posta膰:

 

Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu A do r贸wnania prostej i wyznaczamy wyraz wolny b:

 

 

 

 

Otrzymujemy:

 


Odp. Wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 



b) Szkicujemy tr贸jk膮t ABC w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych.


Punkty A i B le偶膮 symetrycznie wzgl臋dem osi y, a punkt C le偶y na osi y, wi臋c tr贸jk膮t ABC jest r贸wnoramienny i jedna z wysoko艣ci zawiera si臋 w osi y, czyli w prostej:

 

Obliczamy wsp贸艂czynniki kierunkowe prostych AC i BC:

 

 

Mamy:

 

Zatem proste AC i BC s膮 prostopad艂e. Wobec tego zawieraj膮 one wysoko艣ci tr贸jk膮ta.

Obie te proste przecinaj膮 o艣 y w punkcie (0, 3), wi臋c wyraz wolny tych prostych to b=3.

Zatem:

 

 


Odp. Wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 



c) Szkicujemy tr贸jk膮t ABC w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych.


Punkty A i B maj膮 t臋 sam膮 drug膮 wsp贸艂rz臋dn膮 (r贸wn膮 1), wi臋c le偶膮 na prostej y=1.

Wysoko艣膰 poprowadzona z wierzcho艂ka C jest prostopad艂a do prostej y=1 i przechodzi przez punkt C(6, 2), wi臋c ma r贸wnanie:

 


Obliczamy wsp贸艂czynniki kierunkowe prostych AC i BC:

 

 


Niech wysoko艣ci poprowadzone odpowiednio z wierzcho艂k贸w B i A zawieraj膮 si臋 w prostych:

 

 


Iloczyn wsp贸艂czynnik贸w kierunkowych prostych prostopad艂ych r贸wny jest -1, wi臋c:

 

 

 

oraz

 

 

 

W贸wczas r贸wnania prostych przyjmuj膮 postaci:

 

 


Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu B do r贸wnania prostej k i wyznaczamy wyraz wolny bk:

 

 

 

 

Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu A do r贸wnania prostej l i wyznaczamy wyraz wolny bl:

 

 

 

 


Otrzymujemy:

 

 


Odp. Wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 



d) Szkicujemy tr贸jk膮t ABC w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych.


Punkty A i B maj膮 t臋 sam膮 pierwsz膮 wsp贸艂rz臋dn膮 (r贸wn膮 5), wi臋c le偶膮 na prostej x=5.

Wysoko艣膰 poprowadzona z wierzcho艂ka C jest prostopad艂a do prostej x=5 i przechodzi przez punkt C(3, 5), wi臋c ma r贸wnanie:

 


Obliczamy wsp贸艂czynniki kierunkowe prostych AC i BC:

 

 


Niech wysoko艣ci poprowadzone odpowiednio z wierzcho艂k贸w B i A zawieraj膮 si臋 w prostych:

 

 


Iloczyn wsp贸艂czynnik贸w kierunkowych prostych prostopad艂ych r贸wny jest -1, wi臋c:

 

 

 

oraz

 

 

 

W贸wczas r贸wnania prostych przyjmuj膮 postaci:

 

 


Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu B do r贸wnania prostej k i wyznaczamy wyraz wolny bk:

 

 

 

 

Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu A do r贸wnania prostej l i wyznaczamy wyraz wolny bl:

 

 

 


Otrzymujemy:

 

 


Odp. Wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 



e) Szkicujemy tr贸jk膮t ABC w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych.


Punkty A i B maj膮 t臋 sam膮 pierwsz膮 wsp贸艂rz臋dn膮 (r贸wn膮 0), wi臋c le偶膮 na prostej x=0.

Wysoko艣膰 poprowadzona z wierzcho艂ka C jest prostopad艂a do prostej x=0 i przechodzi przez punkt C(2, 2), wi臋c ma r贸wnanie:

 


Obliczamy wsp贸艂czynniki kierunkowe prostych AC i BC:

 

 

Mamy:

 

Zatem proste AC i BC s膮 prostopad艂e. Wobec tego zawieraj膮 one wysoko艣ci tr贸jk膮ta.

Prosta AC przecina o艣 y w punkcie (0, 0), wi臋c wyraz wolny tej prostej wynosi 0. St膮d:

 

Prosta BC przecina o艣 y w punkcie (0, 4), wi臋c wyraz wolny tej prostej wynosi 4. St膮d:

 


Odp. Wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 



f) Szkicujemy tr贸jk膮t ABC w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych.


Oznaczmy:

k - prosta zawieraj膮ca wysoko艣膰 poprowadzon膮 z wierzcho艂ka A na bok BC

l - prosta zawieraj膮ca wysoko艣膰 poprowadzon膮 z wierzcho艂ka B na bok AC

m - prosta zawieraj膮ca wysoko艣膰 poprowadzon膮 z wierzcho艂ka C na bok AB


Niech:

 

 

 


Obliczamy wsp贸艂czynniki kierunkowe prostych BC, AC, AB:

 

 

 


Proste BC i k s膮 prostopad艂e, wi臋c iloczyn wsp贸艂czynnik贸w kierunkowych tych prostych r贸wny jest -1. St膮d:

 

 

 

W贸wczas r贸wnanie prostej k przyjmuje posta膰:

 

Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu A do r贸wnania prostej k i wyznaczamy wyraz wolny bk:

 

 

 

 

Otrzymujemy:

 


Proste AC i l s膮 prostopad艂e, wi臋c iloczyn wsp贸艂czynnik贸w kierunkowych tych prostych r贸wny jest -1. St膮d:

 

 

 

W贸wczas r贸wnanie prostej l przyjmuje posta膰:

 

Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu B do r贸wnania prostej l i wyznaczamy wyraz wolny bl:

 

 

 

 

Otrzymujemy:

 


Proste AB i m s膮 prostopad艂e, wi臋c iloczyn wsp贸艂czynnik贸w kierunkowych tych prostych r贸wny jest -1. St膮d:

 

 

 

W贸wczas r贸wnanie prostej m przyjmuje posta膰:

 

Podstawiamy wsp贸艂rz臋dne punktu C do r贸wnania prostej m i wyznaczamy wyraz wolny bm:

 

 

 

Otrzymujemy:

 


Odp. Wysoko艣ci tr贸jk膮ta zawieraj膮 si臋 w prostych:

 

Komentarze