Określ wzajemne położenie prostych...- Zadanie 4.54: Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Dwie proste o równaniach ogólnych A₁x+B₁y+C₁=0 i A₂x+B₂y+C₂=0:

są równoległe, gdy A₁B₂-A₂B₁=0,
przecinają się, gdy A₁B₂-A₂B₁≠0,
są prostopadłe, gdy A₁A₂+B₁B₂=0.

$a) x + y - 5 = 0, x + y + 7 = 0$

$A_{1} = 1, B_{1} = 1, C_{1} = - 5$

$A_{2} = 1, B_{2} = 1, C_{2} = 7$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 - 1 = 0$

Zatem proste są równoległe.

$b) 2 x + y - 1 = 0, x - 2 y + 6 = 0$

$A_{1} = 2, B_{1} = 1, C_{1} = - 1$

$A_{2} = 1, B_{2} = - 2, C_{2} = 6$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 1 = - 4 - 2 = - 6 \neq = 0$

Zatem proste się przecinają.

$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) = 2 - 2 = 0$

Zatem proste są prostopadłe.

$c) 3 x - y + 1 = 0, 6 x - 2 y + 2 = 0$

$A_{1} = 3, B_{1} = - 1, C_{1} = 1$

$A_{2} = 6, B_{2} = - 2, C_{2} = 2$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 3 \cdot (- 2) - 6 \cdot (- 1) = - 6 + 6 = 0$

Zatem proste są równoległe.

Zauważmy, że mnożąc równanie pierwszej prostej przez 2 otrzymamy równanie drugiej prostej, więc proste się pokrywają.

$d) y = 5 x - 1, y = - \frac{1}{5} x + 3$

Obliczamy iloczyn współczynników kierunkowych prostych:

$5 \cdot (- \frac{1}{5}) = - 1$

Zatem proste są prostopadłe.

$e) x - 4 y + 7 = 0, 2 x - 7 y + 14 = 0$

$A_{1} = 1, B_{1} = - 4, C_{1} = 7$

$A_{2} = 2, B_{2} = - 7, C_{2} = 14$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 1 \cdot (- 7) - 2 \cdot (- 4) = - 7 + 8 = 1 \neq = 0$

Zatem proste się przecinają.

$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 1 \cdot 2 + (- 4) \cdot (- 7) = 2 + 28 = 30 \neq = 0$

Zatem proste nie są prostopadłe.

Proste się przecinają.

$f) 2 x + 4 = 0, y - 3 = 0$

$A_{1} = 2, B_{1} = 0, C_{1} = 4$

$A_{2} = 0, B_{2} = 1, C_{2} = - 3$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 2 - 0 = 2 \neq = 0$

Zatem proste się przecinają.

$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$

Zatem proste są prostopadłe.

$g) 3 y - 6 = 0, y + 5 = 0$

$A_{1} = 0, B_{1} = 3, C_{1} = - 6$

$A_{2} = 0, B_{2} = 1, C_{2} = 5$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = 0$

Zatem proste są równoległe.

$h) 2 x - y + 3 = 0, 4 x - 2 y + 6 = 0$

$A_{1} = 2, B_{1} = - 1, C_{1} = 3$

$A_{2} = 4, B_{2} = - 2, C_{2} = 6$

Mamy:

$A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 2 \cdot (- 2) - 4 \cdot (- 1) = - 4 + 4 = 0$

Zatem proste są równoległe.

Zauważmy, że mnożąc równanie pierwszej prostej przez 2 otrzymamy równanie drugiej prostej, więc proste się pokrywają.

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równanie kierunkowe i ogólne prostej

Premium

13:02

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.