Odległość d punktu P=(xP, yP) od prostej o równaniu Ax+By+C=0, gdzie A2+B2≠0, określona jest wzorem: $d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

---

$\text{a)}P=\left(-3,1\right)$  

$x_P=-3,y_P=1$  

$l:y=2x+5$  

Zapisujemy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$l:2x-y+5=0$  

$A=2,B=-1,C=5$  

Obliczamy odległość punktu P od prostej l:

$d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|2\cdot \left(-3\right)+\left(-1\right)\cdot 1+5\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-6-1+5\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{\left|-2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

---

$\text{b)}P=\left(0,-4\right)$  

$x_P=0,y_P=-4$  

$l:y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{3}$  

Zapisujemy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$\frac{1}{2}x+y+\frac{5}{3}=0\mid \cdot 6$  

$l:3x+6y+10=0$  

$A=3,B=6,C=10$  

Obliczamy odległość punktu P od prostej l:

$d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|3\cdot 0+6\cdot \left(-4\right)+10\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-6\right)}^2}}=\frac{\left|-24+10\right|}{\sqrt{9+36}}=\frac{\left|14\right|}{\sqrt{45}}=\frac{14}{3\sqrt{5}}=\frac{14}{3\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{14\sqrt{5}}{15}$  

---

$\text{c)}P=\left(2,3\sqrt{2}\right)$  

$x_P=2,y_P=3\sqrt{2}$  

$l:y=2\sqrt{2}x+\sqrt{2}$  

Zapisujemy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$l:2\sqrt{2}x-y+\sqrt{2}=0$  

$A=2\sqrt{2},B=-1,C=\sqrt{2}$  

Obliczamy odległość punktu P od prostej l:

$d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|2\sqrt{2}\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3\sqrt{2}+\sqrt{2}\right|}{\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|4\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}\right|}{\sqrt{8+1}}=\frac{\left|2\sqrt{2}\right|}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

---

$\text{d)}P=\left(-2,-3\right)$  

$x_P=-2,y_P=-3$  

$l:y=\frac{2}{5}x+1$  

Zapisujemy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$\frac{2}{5}x-y+1=0\mid \cdot 5$  

$l:2x-5y+5=0$  

$A=2,B=-5,C=5$  

Obliczamy odległość punktu P od prostej l:

$d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|2\cdot \left(-2\right)+\left(-5\right)\cdot \left(-3\right)+5\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{\left|-4+15+5\right|}{\sqrt{4+25}}=\frac{\left|16\right|}{\sqrt{29}}=\frac{16}{\sqrt{29}}=\frac{16}{\sqrt{29}}\cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=\frac{16\sqrt{29}}{29}$  

---

$\text{e)}P=\left(4,0\right)$  

$x_P=4,y_P=0$  

$l:y=-0,7x+3$  

Zapisujemy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$0,7x+y-3=0\mid \cdot 10$  

$l:7x+10y-30=0$  

$A=7,B=10,C=-30$  

Obliczamy odległość punktu P od prostej l:

$d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|7\cdot 4+10\cdot 0+\left(-30\right)\right|}{\sqrt{7^2+{10}^2}}=\frac{\left|28-30\right|}{\sqrt{49+100}}=\frac{\left|-2\right|}{\sqrt{149}}=\frac{2}{\sqrt{149}}=\frac{2}{\sqrt{149}}\cdot \frac{\sqrt{149}}{\sqrt{149}}=\frac{2\sqrt{149}}{149}$  

---

$\text{f)}P=\left(\sqrt{3},-2\sqrt{3}\right)$  

$x_P=\sqrt{3},y_P=-2\sqrt{3}$  

$l:y=-x+5$  

Zapisujemy równanie prostej l w postaci ogólnej:

$l:x+y-5=0$  

$A=1,B=1,C=-5$  

Obliczamy odległość punktu P od prostej l:

$d=\frac{\left|A{x}_P+B{y}_P+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|1\cdot \sqrt{3}+1\cdot \left(-2\sqrt{3}\right)+\left(-5\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|\sqrt{3}-2\sqrt{3}-5\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|-5-\sqrt{3}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{5+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{5+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$