Zakładamy, że:

$a>0,b>0$  

---

a) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc dla każdych a, b>0 prawdziwa jest nierówność:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy:

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

$a^2+b^2\ge 2ab$  

c. n. d.

---

b) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc dla każdych a, b>0 prawdziwa jest nierówność:

${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy:

${\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$  

$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$  

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\mid :2$  

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$  

c. n. d.

---

c) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc dla każdych a, b>0 prawdziwa jest nierówność:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy:

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

$a^2+b^2\ge 2ab\mid :ab,ab>0$  

$\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge 2$  

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$  

c. n. d.

---

d) Przekształcamy równoważnie daną nierówność:

$\left(a+b\right)\cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$  

$\left(a+b\right)\cdot \left(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\right)\ge 4$  

$\left(a+b\right)\cdot \frac{a+b}{ab}\ge 4$  

$\frac{{\left(a+b\right)}^2}{ab}\ge 4\mid \cdot ab,ab>0$  

${\left(a+b\right)}^2\ge 4ab$  

$a^2+2ab+b^2\ge 4ab$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdych a, b>0, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Wobec tego równoważna jej nierówność początkowa również jest prawdziwa, c. n. d.