Wiedząc, że:...- Zadanie 4.91: Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Obliczmy przekształcając

$lo g_{3} 5 = \frac{lo g _{6} 5}{lo g _{6} 3} = \frac{lo g _{6} 5}{lo g _{6} ( 6 : 2 )} = \frac{lo g _{6} 5}{lo g _{6} 6 - lo g _{6} 2} = \frac{b}{1 - a}$

Obliczmy przekształcając.

$lo g_{250} 120 = \frac{lo g 120}{lo g 250}$

Zajmijmy się mianownikiem

$lo g 250 = lo g (25 \cdot 10) = lo g 25 + lo g 10 = lo g 25 + 1 = lo g 5^{2} + 1 = 2 lo g 5 + 1 = 2 lo g (10 : 2) + 1 = 2 lo g 10 - 2 lo g 2 + 1 = 2 - 2 lo g 2 + 1 = 3 - 2 lo g 2 = 3 - 2 b$

Przekształćmy licznik

$120 = lo g (3 \cdot 4 \cdot 10) = lo g 3 + lo g 4 + lo g 10 = lo g 3 + lo g 2^{2} + 1 = \frac{lo g _{9} 3}{lo g _{9} 10} + 2 lo g 2 + 1 = \frac{lo g _{9} 9 ^{\frac{1}{2}}}{lo g _{9} 10} + 2 lo g 2 + 1 = \frac{\frac{1}{2}}{lo g _{9} 10} + 2 lo g 2 + 1 = \dots$

Zauważmy, że

$lo g_{9} 10 = lo g_{9} (20 : 2) lo g_{9} 10 = lo g_{9} 20 - lo g_{9} 2 lo g_{9} 10 = lo g_{9} 20 - \frac{lo g 2}{lo g 9} lo g_{9} 10 = lo g_{9} 20 - \frac{lo g 2}{\frac{1}{l o g _{9} 10}} lo g_{9} 10 = lo g_{9} 20 - lo g 2 lo g_{9} 10 lo g_{9} 10 + lo g 2 lo g_{9} 10 = lo g_{9} 20 lo g_{9} 10 (1 + lo g 2) = lo g_{9} 20 lo g_{9} 10 = \frac{lo g _{9} 20}{1 + lo g 2}$

Zatem podstawiając to do naszych przekształceń, otrzymujemy

$\dots = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{l o g _{9} 20}{1 + l o g 2}} + 2 lo g 2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lo g 2}{lo g _{9} 20} + 2 lo g 2 + 1 = \frac{1 + lo g 2}{2 lo g _{9} 20} + 2 lo g 2 + 1 = \frac{1 + b}{2 a} + 2 b + 1 = \frac{1 + b + 4 ab + 2 a}{2 a}$

Ostatecznie

$lo g_{250} 120 = \frac{\frac{1 + b + 4 ab + 2 a}{2 a}}{3 - 2 b} = \frac{1 + b + 4 ab + 2 a}{2 a ( 3 - 2 b )}$

$lo g_{54} 168 = \frac{lo g _{12} 168}{lo g _{12} 54}$

Zajmijmy się samym mianownikiem

$lo g_{12} 168 = lo g_{12} (24 \cdot 7) = lo g_{12} 24 + lo g_{12} 7 = lo g_{12} 24 + \frac{1}{lo g _{7} 12} = b + \frac{1}{a}$

Przekształćmy licznik

$lo g_{12} 54 = lo g_{12} (6 \cdot 9) = lo g_{12} \frac{6 \cdot 36}{4} = lo g_{12} \frac{6 ^{3}}{4 ^{1}} = lo g_{12} \frac{2 ^{3} \cdot 6 ^{3}}{2 ^{3} \cdot 2 ^{2}} = lo g_{12} \frac{1 2 ^{3}}{2 ^{5}} = \dots$

Zauważmy, że aby udało nam się otrzymać liczbę w mianowniku, która jest wielokrotnością $24$ powinniśmy wymnożyć go przez $1 2^{5}$ .

$\dots = lo g_{12} \frac{1 2 ^{5} \cdot 1 2 ^{3}}{1 2 ^{5} \cdot 2 ^{5}} = lo g_{12} \frac{1 2 ^{8}}{( 12 \cdot 2 ) ^{5}} = lo g_{12} \frac{1 2 ^{8}}{2 4 ^{5}} = lo g_{12} 1 2^{8} - lo g_{12} 2 4^{8} = 8 lo g_{12} 12 - 5 lo g_{12} 24 = 8 - 5 b$