a)

Obliczmy wyróżnik dla podanej funkcji i wyznaczmy wierzchołek paraboli będącej wykresem.

$$\begin{gathered} \Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 4=1+48=49 \\ {x}_W=-\frac{-1}{-6}=-\frac{1}{6} \\ {y}_W=\frac{-49}{-12}=\frac{49}{12} \end{gathered}$$

Zauważmy, że $x_W\in ⟨-1;3⟩$ oraz $a=-3<0$. To oznacza, że ramiona paraboli będącej wykresem są skierowane w dół i wierzchołek jest w rozważnym przedziale. Sporządźmy rysunek poglądowy dla lepszego zrozumienia.

A stąd największa wartość w przedziale wynosi 

$y_{MAX}=f\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{49}{12}$

Najmniejsza wartość będzie na jednym z końców przedziałów, ponieważ funkcja rośnie a potem maleje. Obliczmy

$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=-3\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+4=-3+1+4=2 \\ f\left(3\right)=-3\cdot 3^2-3+4=-27+1=-26 \end{gathered}$$

Najmniejsza wartość w przedziale to

$y_{MIN}=f\left(-1\right)=-26$

---

b)

Obliczmy wyróżnik dla podanej funkcji i wyznaczmy wierzchołek paraboli będącej wykresem.

$$\begin{gathered} \Delta =4^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 7=16-14=2 \\ {x}_W=-\frac{4}{1}=-4 \\ {y}_W=\frac{-2}{2}=-1 \end{gathered}$$

Zauważmy, że $x_W\in ⟨-4;6⟩$ oraz $a=\frac{1}{2}>0$. To oznacza, że ramiona paraboli będącej wykresem są skierowane w górę i wierzchołek jest w rozważnym przedziale. Sporządźmy rysunek poglądowy dla lepszego zrozumienia.

A stąd najmniejsza wartość w przedziale wynosi 

$y_{MIN}=f\left(-4\right)=-1$

Największa wartość będzie na jednym z końców przedziałów, ponieważ funkcja maleje a potem rośnie. Zauważmy, że najmniejsza wartość jest już na jednym końcu, stąd największa wartość w przedziale to

$y_{MAX}=f\left(6\right)=\frac{1}{2}\cdot 6^2+4\cdot 6+7=18+24+7=49$

---

c)

Obliczmy wyróżnik dla podanej funkcji i wyznaczmy wierzchołek paraboli będącej wykresem.

$$\begin{gathered} \Delta =4^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-9\right)=16-72=-56 \\ {x}_W=-\frac{4}{-4}=1 \\ {y}_W=\frac{-\left(-56\right)}{-8}=-7 \end{gathered}$$

Zauważmy, że $x_W\in ⟨1;5⟩$ oraz $a=-2<0$. To oznacza, że ramiona paraboli będącej wykresem są skierowane w dół i wierzchołek jest w rozważnym przedziale. Sporządźmy rysunek poglądowy dla lepszego zrozumienia.

A stąd największa wartość w przedziale wynosi 

$y_{MAX}=f\left(1\right)=-7$

Najmniejsza wartość będzie na jednym z końców przedziałów, ponieważ funkcja rośnie a potem maleje. Zauważmy, że największa wartość jest już na jednym końcu, stąd najmniejsza wartość w przedziale to

$y_{MIN}=f\left(5\right)=-2\cdot 5^2+4\cdot 5-9=-50+20-9=-39$

---

d)

Obliczmy wyróżnik dla podanej funkcji i wyznaczmy wierzchołek paraboli będącej wykresem.

$$\begin{gathered} \Delta =8^2-4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \left(-16\right)=64-16=48 \\ {x}_W=-\frac{8}{-\frac{1}{2}}=16 \\ {y}_W=\frac{-48}{-1}=48 \end{gathered}$$

Zauważmy, że $x_W\notin ⟨-2;10⟩$ oraz $a=-\frac{1}{4}<0$. To oznacza, że ramiona paraboli będącej wykresem są skierowane w dół i wierzchołek nie należy do rozważanego przedziału. Sporządźmy rysunek poglądowy dla lepszego zrozumienia.

Wartość najmniejsza jest na lewym końcu przedziału, wynosi

$y_{MAX}=f\left(-2\right)=-\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2+8\cdot \left(-2\right)-16=-1-16-16=-33$

Wartość najmniejsza jest na prawym końcu przedziału, wynosi

$y_{MIN}=-\frac{1}{4}\cdot 10^2+8\cdot 10-16=-25+80-16=39$