I liceum

II liceum

III liceum

I technikum

II technikum

III technikum

IV technikum

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Dany jest wzór funkcji: f(x)=x2−100x+53 &nbsp; Obliczmy odciętą wierzchołka

Dany jest wzór funkcji: g(x)=x2−100 &nbsp; Sprawdźmy ile punktów wspólnych ma funkcja g z:

Dany jest wzór funkcji: f(x)=−x2+4x−3 &nbsp; Określmy zbiór wartości funkcji f:

Symetria względem prostej&nbsp; y=0 &nbsp;to inaczej symetria względem osi&nbsp; OX &nbsp;, zatem:&nbsp; y=−f(x) &nbsp; Czyli: y=−((x−5)2−6)=−(x−5)2+6 &nbsp; &nbsp; Odp.: B

Symetria względem prostej&nbsp; x=0 &nbsp;to inaczej symetria względem osi&nbsp; OY &nbsp;, zatem:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: f(x)=−3x2+2 &nbsp; Wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: f(x)=2(x−5)2+6 &nbsp; Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji to: W=(5,6) &nbsp; zatem&nbsp;odcięta&nbsp;tego wierzchołka to:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: f(x)=(x−6)(x−8) &nbsp; Miejsca zerowe tej funkcji to:&nbsp; 6,8 &nbsp;. &nbsp; Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: f(x)=x2+4x−3 &nbsp; Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji:&nbsp; p=−24​=−2 &nbsp; Zauważmy, że: −2∈/⟨0,3⟩ &nbsp; Obliczmy wartości funkcji f na krańcach przedziału&nbsp; ⟨0,3⟩ &nbsp;: f(0)=02+4⋅0−3=−3 &nbsp; f(3)=32+4⋅3−3=9+12−3=21−3=18 &nbsp; Zauważmy, że: f(0)&lt;f(3) &nbsp; &nbsp; Odp.: C

Obliczmy wartość współczynnika b: 13=42+b⋅4−3  ∣+3 &nbsp;&nbsp;

Dany jest trójmian: y=x2+bx+c &nbsp; Trójmian ten ma dwa miejsca zerowe jeśli:

Dany jest wzór funkcji: f(x)=x2+8x+9 &nbsp; Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

Współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji f i g to: f(x)=g(x) &nbsp;&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/13fc23189c623f69e30157f38c3a1890fa8c542930822fbe3f273078e0309249_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/13fc23189c623f69e30157f38c3a1890fa8c542930822fbe3f273078e0309249_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczmy odciętą wierzchołka

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/53f18b27a0788fc53637b8cb94e602e92c386b5188a20944417261b33fd3d71c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/53f18b27a0788fc53637b8cb94e602e92c386b5188a20944417261b33fd3d71c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy ile punktów wspólnych ma funkcja g z:

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/545fb4b137c29243be4ce356ea681240f20a025a6c12216315c7a06997dcf8a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/545fb4b137c29243be4ce356ea681240f20a025a6c12216315c7a06997dcf8a5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Określmy zbiór wartości funkcji f:

Symetria względem prostej&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c49641d768f5b8cbcc21a5240d08377e53cb8f8901b935eb2f91cd7ac670a0f7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c49641d768f5b8cbcc21a5240d08377e53cb8f8901b935eb2f91cd7ac670a0f7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;to inaczej symetria względem osi&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1b07fa6882367e4579831f9d91b827e3bbb1c77552a914f11fd4051a2cfb4d1b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1b07fa6882367e4579831f9d91b827e3bbb1c77552a914f11fd4051a2cfb4d1b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;, zatem:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/591722fa973adfc360b327ceeb478a115c7af53bf00ee6d137670dfc6f132cac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/591722fa973adfc360b327ceeb478a115c7af53bf00ee6d137670dfc6f132cac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Czyli: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2b818a1b0ee3d2f79e89831676a5b8c07d19137c2fd576ea60ed4f1546a464c3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2b818a1b0ee3d2f79e89831676a5b8c07d19137c2fd576ea60ed4f1546a464c3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp.: B

Symetria względem prostej&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/794d66ff4ebd363e528d3546b2c9bcb26398f88aaba177b10b97dda04e64ceac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/794d66ff4ebd363e528d3546b2c9bcb26398f88aaba177b10b97dda04e64ceac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;to inaczej symetria względem osi&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/98a6f7039f91abdedbc32f09a9f2b982ff459ffb2f7daf184550a33f9422c72b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/98a6f7039f91abdedbc32f09a9f2b982ff459ffb2f7daf184550a33f9422c72b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;, zatem:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f5fa32fb432745dedd23eb7be13e7ba8a1e5ddb9105c0d41cf391ecb024623a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f5fa32fb432745dedd23eb7be13e7ba8a1e5ddb9105c0d41cf391ecb024623a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/96626fb3b254798a70a0573d8a2f72184d870d7d3c60e03ee78b1bf1179778a6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/96626fb3b254798a70a0573d8a2f72184d870d7d3c60e03ee78b1bf1179778a6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji to: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c51e2d559b8618a19316c52a9c397b09d7fb99c8da8ca0253ff2bd32ed05f1af_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c51e2d559b8618a19316c52a9c397b09d7fb99c8da8ca0253ff2bd32ed05f1af_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem&nbsp;odcięta&nbsp;tego wierzchołka to:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/390f5a28e55171b4893f56222324f2248e1deee8e0a47b978f239775165ac67e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/390f5a28e55171b4893f56222324f2248e1deee8e0a47b978f239775165ac67e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Miejsca zerowe tej funkcji to:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3e1666a3d3181ca7f40d87e2611474c575228cbbc8bdbd48829dbe1ba95bd8be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3e1666a3d3181ca7f40d87e2611474c575228cbbc8bdbd48829dbe1ba95bd8be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;. &nbsp; Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji:&nbsp;

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8d5bdd43c44e2f68303b027d396bab16ff4e0c0bb86f629fe0fc284a189b6e01_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8d5bdd43c44e2f68303b027d396bab16ff4e0c0bb86f629fe0fc284a189b6e01_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f63d970b4efaaccaff7e4434780e63165cb8d45876afeaaf96d0aed9981ce274_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f63d970b4efaaccaff7e4434780e63165cb8d45876afeaaf96d0aed9981ce274_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e0a1c2b1c3733981f5f4c66b8ee9d050f5815362505ee32ee8eb084149e8f499_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e0a1c2b1c3733981f5f4c66b8ee9d050f5815362505ee32ee8eb084149e8f499_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczmy wartości funkcji f na krańcach przedziału&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f65152da6329dd34cc6f1278e1cdc5c47398bad9a1e40a369c5da8e371130ac4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f65152da6329dd34cc6f1278e1cdc5c47398bad9a1e40a369c5da8e371130ac4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0e12f7374be580d61a60715ec28ad74056c0768479c8fdb5ecf2d3ceef8dceed_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0e12f7374be580d61a60715ec28ad74056c0768479c8fdb5ecf2d3ceef8dceed_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/526a49ea443a31977f1939943720913b95c52f02c3d2b1bd050b9c7ac06caf2f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/526a49ea443a31977f1939943720913b95c52f02c3d2b1bd050b9c7ac06caf2f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/de5e6a4d3561f57260e132a709b66a55f9b7be8d74b359506ce2c6ece0652f9c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/de5e6a4d3561f57260e132a709b66a55f9b7be8d74b359506ce2c6ece0652f9c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp.: C

Obliczmy wartość współczynnika b: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/77266c24f239540c5e186d2103085d49eaab8fc5471da85e00590b38fbad8cfa_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/77266c24f239540c5e186d2103085d49eaab8fc5471da85e00590b38fbad8cfa_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;

Dany jest trójmian: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/16fe81d65094f0227c8c0b9e7886e405df640ed4f183e72fcfe7d52c596050cc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/16fe81d65094f0227c8c0b9e7886e405df640ed4f183e72fcfe7d52c596050cc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Trójmian ten ma dwa miejsca zerowe jeśli:

Dany jest wzór funkcji: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aa71ac5bae98c950494157f4335771fa44ab48fe4f81a5b2077a389431d4c483_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/aa71ac5bae98c950494157f4335771fa44ab48fe4f81a5b2077a389431d4c483_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej:

Współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji f i g to: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/40723467f461a4be35febaad59befaa239124cc2c43cc70fa518a16ecd3d6065_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/40723467f461a4be35febaad59befaa239124cc2c43cc70fa518a16ecd3d6065_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;

Komentarze