$a\text{)}A\left(-2,1\right),B\left(-1,-1\right),C\left(2,5\right),D\left(1,7\right)$  

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}=\left[-1-\left(-2\right),-1-1\right]=\left[-1+2,-2\right]=\left[1,-2\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{AB}$  

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$  

 

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{DC}=\left[2-1,5-7\right]=\left[1,-2\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{DC}$  

$\left|\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$  

 

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AD}=\left[1-\left(-2\right),7-1\right]=\left[3,6\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{AD}$  

$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$  

 

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC}=\left[2-\left(-1\right),5-\left(-1\right)\right]=\left[2+1,5+1\right]=\left[3,6\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{BC}$  

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$  

 

Wektory  $\overrightarrow{AB}$  i  $\overrightarrow{DC}$  są równe oraz  $\overrightarrow{AD}$  i  $\overrightarrow{BC}$  są równe, zatem czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

 

Obliczmy długość obwodu czworokąta ABCD:

$O=\sqrt{5}+\sqrt{5}+3\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$  

---

$b\text{)}A\left(2,-5\right),B\left(7,0\right),C\left(2,5\right),D\left(0,3\right)$  

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}=\left[7-2,0-\left(-5\right)\right]=\left[5,0+5\right]=\left[5,5\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{AB}$  

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$  

 

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{DC}=\left[2-0,5-3\right]=\left[2,2\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{DC}$  

$\left|\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

 

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AD}=\left[0-2,3-\left(-5\right)\right]=\left[-2,8\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{AD}$  

$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$  

 

Obliczmy współrzędne wektora  $\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC}=\left[2-7,5-0\right]=\left[-5,5\right]$   

Obliczmy długość wektora  $\overrightarrow{BC}$  

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$  

 

Podane wektory nie są równe, zatem czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem.

 

Obliczmy długość obwodu czworokąta ABCD:

$O=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2\sqrt{17}+5\sqrt{2}=12\sqrt{2}+2\sqrt{17}$