Dane jest równanie:

$\left(x+3\right)\left(4x^2+3px+5p-4\right)=0$  

Łatwo możemy zauważyć, że jednym z rozwiązań tego równania jest:

$x+3=0$  

$x=-3$  

Aby podane równanie miało jedno rozwiązanie powinny być spełnione warunki:

1. 

Trójmian $4x^2+3px+5p-4$  ma jedno rozwiązanie  $x=-3$  wówczas:

$\Delta =0\wedge 4\cdot {\left(-3\right)}^2+3p\cdot \left(-3\right)+5p-4=0$  

$9p^2-16\cdot \left(5p-4\right)=0\wedge 36-9p+5p-4=0$  

$9p^2-80p+64=0\wedge 32-4p=0$  

$9p^2-80p+64=0\wedge 32=4p$  

$9p^2-80p+64=0\wedge p=8$  

Znajdźmy rozwiązania równania:

$9p^2-80p+64=0$  

$\Delta ={\left(-80\right)}^2-2304=6400-2304=4096,\sqrt{\Delta }=64$  

$p_1=\frac{80-64}{18}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}$  

$p_2=\frac{80+64}{18}=\frac{144}{18}=8$  

więc:

$\left(p=\frac{8}{9}\vee p=8\right)\wedge p=8$  

Zatem:

$p=8$  

lub

2. 

Trójmian $4x^2+3px+5p-4$ nie ma rozwiązań wtedy:

$\Delta <0$  

$9p^2-16\cdot \left(5p-4\right)<0$  

$9p^2-80p+64<0$  

$9p^2-80p+64<0$  

$9p^2-72p-8p+64<0$

$9p\left(p-8\right)-8\left(p-8\right)<0$

$\left(p-8\right)\left(9p-8\right)<0$

$p\in \left(\frac{8}{9},8\right)$  

Biorąc pod uwagę rozwiązania przypadków 1. i 2. otrzymujemy, że:

$p\in (\frac{8}{9},8⟩$

---

Odp.: Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla p ∈ (⁸/₉, 8>.