Wykaż, że liczba a...- Zadanie 8.182: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy definicję pierwiastka $k -$ krotnego:

Pierwiastkiem $k -$ krotnym wielomianu $W (x),$ gdzie $k \in N_{+},$ nazywamy liczbę $a$ wtedy i tylko wtedy,

gdy wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $(x - a)^{k}$ i nie jest podzielny przez $(x - a)^{k + 1} .$

Liczbę $k$ nazywamy krotnością pierwiastka.

$a) W (x) = 6 x^{3} + 3 x^{2} + 10 x + 5, a = - \frac{1}{2}$

Obliczamy:

$W (a) = W (- \frac{1}{2}) = - \frac{6}{8} + \frac{3}{4} - 5 + 5 = - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 0$

Liczba $a = - \frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + \frac{1}{2}) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + \frac{1}{2})$ algorytmem Hornera:

	$6$	$3$	$10$	$5$
$- \frac{1}{2}$		$- 3$	$0$	$- 5$
	$6$	$0$	$10$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = 6 x^{3} + 3 x^{2} + 10 x + 5$ przez dwumian $P (x) = x + \frac{1}{2}$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = 6 x^{2} + 10 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + \frac{1}{2}) (6 x^{2} + 10)$

Sprawdzamy, czy $a = - \frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q (x) .$

$Q (- \frac{1}{2}) = \frac{6}{4} + 10 \neq = 0$

$a = - \frac{1}{2}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $Q (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $(x + \frac{1}{2}),$ ale nie jest podzielny przez $(x + \frac{1}{2})^{2} .$

Zatem, na mocy definicji, $a = - \frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu $W (x) .$

$b) W (x) = x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x - 24, a = - 2$

Obliczamy:

$W (a) = W (- 2) = - 32 + 64 - 32 - 24 + 48 - 24 = 0$

Liczba $a = - 2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + 2) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + 2)$ algorytmem Hornera:

	$1$	$4$	$4$	$- 6$	$- 24$	$- 24$
$- 2$		$- 2$	$- 4$	$0$	$12$	$24$
	$1$	$2$	$0$	$- 6$	$- 12$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 24 x - 24$ przez dwumian $P (x) = x + 2$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 12 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + 2) (x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 12)$

Sprawdzamy, czy $r = - 2$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q (x) .$

$Q (- 2) = 16 - 16 + 12 - 12 = 0$

Liczba $a = - 2$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q (x) .$

Oznacza to, że wielomian $Q (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + 2) .$

Wykonajmy dzielenie $Q (x) : (x + 2)$ algorytmem Hornera:

	$1$	$2$	$0$	$- 6$	$- 12$
$- 2$		$- 2$	$0$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$0$	$- 6$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $Q (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 12$ przez dwumian $P (x) = x + 2$

otrzymaliśmy iloraz $T (x) = x^{3} - 6 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + 2)^{2} (x^{3} - 6)$

Sprawdzamy, czy $r = - 2$ jest pierwiastkiem wielomianu $T (x) .$

$T (- 2) = - 8 - 6 = - 14 \neq = 0$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $(x + 2)^{2},$ ale nie jest podzielny przez $(x + 2)^{3} .$

Zatem, na mocy definicji, $a = - 2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $W (x) .$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności pierwiastków i usuwanie niewymierności z mianownika

Premium

19:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.