Przypomnijmy definicję pierwiastka  $k-$ krotnego:

Pierwiastkiem   $k-$ krotnym wielomianu  $W\left(x\right),$  gdzie  $k\in {\mathbf{N}}_{+},$  nazywamy liczbę  $a$  wtedy i tylko wtedy,

gdy wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez  ${\left(x-a\right)}^k$  i nie jest podzielny przez  ${\left(x-a\right)}^{k+1}.$  

Liczbę  $k$   nazywamy krotnością pierwiastka.

 

$\text{a)}W\left(x\right)=6x^3+3x^2+10x+5,a=-\frac{1}{2}$  

Obliczamy:

$W\left(a\right)=W\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{6}{8}+\frac{3}{4}-5+5=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$  

Liczba  $a=-\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+\frac{1}{2}\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+\frac{1}{2}\right)$  algorytmem Hornera:

	$6$	$3$	$10$	$5$
$-\frac{1}{2}$		$-3$	$0$	$-5$
	$6$	$0$	$10$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=6x^3+3x^2+10x+5$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+\frac{1}{2}$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=6x^2+10.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(6x^2+10\right)$  

Sprawdzamy, czy  $a=-\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $Q\left(x\right).$  

$Q\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{6}{4}+10\ne 0$  

$a=-\frac{1}{2}$  nie jest pierwiastkiem wielomianu  $Q\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez  $\left(x+\frac{1}{2}\right),$  ale nie jest podzielny przez  ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2.$  

Zatem, na mocy definicji,  $a=-\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu  $W\left(x\right).$  

---

$\text{b)}W\left(x\right)=x^5+4x^4+4x^3-6x^2-24x-24,a=-2$  

Obliczamy:

$W\left(a\right)=W\left(-2\right)=-32+64-32-24+48-24=0$  

Liczba  $a=-2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+2\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+2\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$4$	$4$	$-6$	$-24$	$-24$
$-2$		$-2$	$-4$	$0$	$12$	$24$
	$1$	$2$	$0$	$-6$	$-12$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=x^5+4x^4+4x^3-6x^2-24x-24$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+2$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=x^4+2x^3-6x-12.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x^4+2x^3-6x-12\right)$  

Sprawdzamy, czy  $r=-2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $Q\left(x\right).$  

$Q\left(-2\right)=16-16+12-12=0$  

Liczba  $a=-2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $Q\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $Q\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+2\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $Q\left(x\right):\left(x+2\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$2$	$0$	$-6$	$-12$
$-2$		$-2$	$0$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$0$	$-6$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $Q\left(x\right)=x^4+2x^3-6x-12$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+2$  

otrzymaliśmy iloraz  $T\left(x\right)=x^3-6.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2\left(x^3-6\right)$  

Sprawdzamy, czy  $r=-2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $T\left(x\right).$  

$T\left(-2\right)=-8-6=-14\ne 0$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez  ${\left(x+2\right)}^2,$  ale nie jest podzielny przez  ${\left(x+2\right)}^3.$  

Zatem, na mocy definicji,  $a=-2$  jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu  $W\left(x\right).$