Dane jest równanie:

$3a{x}^2-4ax+7=0$  

Zauważmy, że:

- dla  $a=0$  :

$0-0+7\ne 0$  

równanie nie ma rozwiązania

-dla  $a\ne 0$  równanie ma rozwiązanie jeśli  $\Delta \ge 0$  

$\Delta ={\left(-4a\right)}^2-4\cdot 3a\cdot 7=16a^2-84a$  

$16a^2-84a\ge 0$  

$4a^2-21a\ge 0$  

$a\left(4a-21\right)\ge 0$  

zatem:

$a\in \left(-\infty ,0\right)\cup ⟨\frac{21}{4},+\infty )$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16a^2-84a}=2\sqrt{4a^2-21a}$  

Wyznaczmy rozwiązania tego równania:

$x_1=\frac{4a-2\sqrt{4a^2-21a}}{6a}$  

$x_2=\frac{4a+2\sqrt{4a^2-21a}}{6a}$  

Jeśli rozwiązania tego równania są sinusem i cosinusem pewnego kąta to z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:

$x_1^2+x_2^2=1$  

${\left(\frac{4a-2\sqrt{4a^2-21a}}{6a}\right)}^2+{\left(\frac{4a+2\sqrt{4a^2-21a}}{6a}\right)}^2=1$  

$\frac{16a^2-16a\sqrt{4a^2-21a}+4\cdot \left(4a^2-21a\right)+16a^2+16a\sqrt{4a^2-21a}+4\cdot \left(4a^2-21a\right)}{{\left(6a\right)}^2}=1$  

$\frac{32a^2+16a^2-84a+16a^2-84a}{36a^2}=1$  

$\frac{64a^2-168a}{36a^2}=1$  

$64a-168=36a$  

$28a=168$  

$a=6$  

zatem:

$x_1=\frac{4\cdot 6-2\sqrt{4\cdot 6^2-21\cdot 6}}{6\cdot 6}=\frac{24-2\sqrt{144-126}}{36}=$  

$=\frac{24-2\sqrt{18}}{36}=\frac{24-6\sqrt{2}}{36}=\frac{4-\sqrt{2}}{6}>0$  

$x_2=\frac{4\cdot 6+2\sqrt{4\cdot 6^2-21\cdot 6}}{6\cdot 6}=\frac{24+2\sqrt{144-126}}{36}=$  

$=\frac{24+2\sqrt{18}}{36}=\frac{24+6\sqrt{2}}{36}=\frac{4+\sqrt{2}}{6}>0$  

Zauważmy, że:

$x_1,x_2>0$  

Sinus i cosinus tego samego kąta są liczbami dodatnimi, zatem końcowe ramię tego kąta znajduje się w I ćwiartce.