Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

$\text{1)}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,\text{jesˊli}\alpha \text{jest dowolnym kątem}$  

$\text{2)}\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha =1,\text{jesˊli}\alpha \ne k\cdot {90}^{\circ },\text{gdzie}k\in \mathbf{C}$  

$\text{3)}\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\alpha ,\text{jesˊli}\alpha \ne {90}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ },\text{gdzie}k\in \mathbf{C}$  

$\text{4)}\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\text{ctg}\alpha ,\text{jesˊli}\alpha \ne k\cdot {180}^{\circ },\text{gdzie}k\in \mathbf{C}$  

Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.

---

Przypomnijmy też wierszyk określający znaki funkcji trygonometrycznych:

"W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus."

---

---

$\text{a)}\sin \alpha =b,\alpha \in \left({180}^{\circ },{270}^{\circ }\right),b\in \left(-1,0\right)$  

Obliczamy cos 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$b^2+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =1-b^2>0\text{dla}b\in \left(-1,0\right)$  

$\cos \alpha =-\sqrt{1-b^2}<0\vee \cos \alpha =\sqrt{1-b^2}>0-\text{odrzucamy}$  

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):

$\text{tg}\alpha =\frac{b}{-\sqrt{1-b^2}}=-\frac{b}{\sqrt{1-b^2}}$  

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):

$\text{ctg}\alpha =-\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}$  

Otrzymaliśmy:

$\cos \alpha =-\sqrt{1-b^2},\text{tg}\alpha =-\frac{b}{\sqrt{1-b^2}},\text{ctg}\alpha =-\frac{\sqrt{1-b^2}}{b}$  

---

$\text{b)}\cos \alpha =a,\alpha \in \left({270}^{\circ },{360}^{\circ }\right),a\in \left(0,1\right)$  

Obliczamy sin 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +a^2=1$  

${\sin }^2\alpha =1-a^2>0\text{dla}a\in \left(0,1\right)$  

$\sin \alpha =-\sqrt{1-a^2}<0\vee \sin \alpha =\sqrt{1-a^2}>0-\text{odrzucamy}$  

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):

$\text{tg}\alpha =-\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$  

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):

$\text{ctg}\alpha =\frac{a}{-\sqrt{1-a^2}}=-\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$  

Otrzymaliśmy:

$\sin \alpha =-\sqrt{1-a^2},\text{tg}\alpha =-\frac{\sqrt{1-a^2}}{a},\text{ctg}\alpha =-\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$