$a\text{)}8\left(k^2-1\right)x^2+\left(8k-8\right)x+1=0$  

Rozpatrzymy przypadki:

$\text{1)}{k}^2-1=0$ (sprawdzamy co się stanie, gdy po lewej będziemy mieć funkcję liniową)

wtedy 

$k=1\vee k=-1$    

Dla k = 1 równanie jest postaci 

$1=0$

czyli jest to równanie sprzeczne (nie ma rozwiązania), więc dla k = 1 warunki zadania są spełnione. 

Dla k = -1 równanie jest postaci 

$-16x+1=0$

$x=\frac{1}{16}$

wówczas równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli dla k = -1 warunki zadania nie są spełnione.    

Rozpatrujemy kolejny przypadek - po lewej współczynnik przy $x^2$ jest różny od $0$. Chcemy, aby równanie nie miało rozwiązania (czyli $\Delta$ musi być ujemna)

$2\text{)}8\left(k^2-1\right)\ne 0\wedge \Delta <0$  

$k^2-1\ne 0{\left(8k-8\right)}^2-4\cdot 8\left(k^2-1\right)\cdot 1<0$  

$k^2\ne 164k^2-128k+64-32k^2+32<0$  

$\left|k\right|\ne 132k^2-128k+96<0$  

$k\ne 1\wedge k\ne -1k^2-4k+3<0$   

Rozwiążmy nierówność:

$k^2-4k+3<0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$k_1=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$k_2=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$  

czyli

$k\in \left(1,3\right)$  

więc otrzymujemy, że 

$k\ne -1\wedge k\ne 1\wedge k\in \left(1,3\right)$  

czyli 

$\underline{k\in \left(1,3\right)}$  

 

Biorąc pod uwagę rozwiązania 1) i 2) otrzymujemy, że:

$k\in \left(1,3\right)\cup k\in \left\{1\right\}$  

czyli

$\underline{\mathbf{k}\in ⟨1,3)}$  

---

$b\text{)}\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$  

Rozpatrzymy przypadki:

$1\text{)}k-3=0$  

$k=3$   

$2\text{)}k-3\ne 0\wedge \Delta =0$  

$k\ne 3\wedge {\left(k-2\right)}^2-4\cdot \left(k-3\right)\cdot 1=0$  

$k\ne 3\wedge k^2-4k+4-4k+12=0$  

$k\ne 3\wedge k^2-8k+16=0$  

$k\ne 3\wedge {\left(k-4\right)}^2=0$  

$k\ne 3\wedge k-4=0$  

$k\ne 3\wedge k=4$  

 

Biorąc pod uwagę rozwiązania 1) i 2) otrzymujemy, że:

$\underline{\mathbf{k}\in \left\{3,4\right\}}$  

---

$c\text{)}\left(k-1\right)x^2-\left(k+1\right)x+k+1=0$  

Rozpatrzymy przypadki:

$1\text{)}k-1=0\Rightarrow k=1$  

Wówczas równanie jest postaci

$-2x+2=0$  

$x=1$

czyli równanie ma rozwiązanie, więc dla k = 1 warunki zadania są spełnione. 

$2\text{)}k-1\ne 0\wedge \Delta \ge 0$  

$k\ne 1\wedge {\left(k+1\right)}^2-4\cdot \left(k-1\right)\cdot \left(k+1\right)\ge 0$  

$k\ne 1\wedge k^2+2k+1-4\left(k^2-1\right)\ge 0$  

$k\ne 1\wedge k^2+2k+1-4k^2+4\ge 0$  

$k\ne 1\wedge -3k^2+2k+5\ge 0$  

Rozwiążmy nierówność:

$-3k^2+2k+5\ge 0$  

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 5=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$k_1=\frac{-2-8}{-3\cdot 2}=\frac{-10}{-6}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$  

$k_2=\frac{-2+8}{-3\cdot 2}=\frac{6}{-6}=-1$  

zatem:

$k\in ⟨-1,1\frac{2}{3}⟩$  

uwzględniając warunek k ≠ 1 mamy 

$k\in ⟨-1,1)\cup (1,1\frac{2}{3}⟩$  

 

Biorąc pod uwagę rozwiązania 1) i 2) otrzymujemy, że:

$\underline{\mathbf{k}\in ⟨-1,1\frac{2}{3}⟩}$  

---

$d\text{)}\left(k^2-3k+2\right)x^2+3\left(k-2\right)x+4,5=0$  

$1\text{)}{k}^2-3k+2=0\wedge \left(3\left(k-2\right)=0\vee 3\left(k-2\right)\ne 0\right)$  

$k^2-3k+2=0\wedge \left(k-2=0\vee k-2\ne 0\right)$  

$k^2-3k+2=0\wedge \left(k=2\vee k\ne 2\right)$  

$k^2-3k+2=0\wedge k\in \mathbb{R}$  

Rozwiążmy równanie:

$k^2-3k+2=0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$k_1=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$k_2=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

więc:

$k=1\vee k=2$  

$2\text{)}{k}^2-3k+2\ne 0\wedge \Delta \le 0$  

$k\ne 1\wedge k\ne 2\wedge {\left(3\left(k-2\right)\right)}^2-4\cdot \left(k^2-3k+2\right)\cdot 4,5\le 0$  

$k\ne 1\wedge k\ne 2\wedge 9\left(k^2-4k+4\right)-4\cdot \left(k^2-3k+2\right)\cdot 4,5\le 0$  

$k\ne 1\wedge k\ne 2\wedge 9k^2-36k+36-18\left(k^2-3k+2\right)\le 0$

$k\ne 1\wedge k\ne 2\wedge 9k^2-36k+36-18k^2+54k-36\le 0$

$k\ne 1\wedge k\ne 2\wedge -9k^2+18k\le 0$

$k\ne 1\wedge k\ne 2\wedge k^2-2k\ge 0$

Rozwiążmy nierówność:

$k^2-2k\ge 0$  

$k\left(k-2\right)\ge 0$  

zatem:

$k\in (-\infty ,0⟩\cup \left(2,+\infty \right)$  

 

Biorąc pod uwagę rozwiązania 1) i 2) otrzymujemy, że:

$\underline{\mathbf{k}\in (-\infty ,0⟩\cup \left\{1\right\}\cup ⟨2,+\infty )}$