Dana jest funkcja:

$y=\sqrt{6}{x}^2-5\sqrt{3}x+2\sqrt{6}$  

Funkcja ta ma dwa miejsca zerowe jeśli zachodzi warunek:

$\Delta >0$  

$\Delta ={\left(-5\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}=75-48=27>0$  

więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

 

a) Obliczmy sumę odwrotności miejsc zerowych tej funkcji:

${\frac{1}{x}}_1+{\frac{1}{x}}_2=\frac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2},x_1\ne 0,x_2\ne 0$  

Korzystając ze wzorów Viete'a wiemy, że:

$x_2+x_1=-\frac{-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{5\sqrt{18}}{6}=\frac{15\sqrt{2}}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=2$  

zatem:

$\frac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$  

---

b) Obliczmy sumę kwadratów odwrotności miejsc zerowych tej funkcji:

${\left(\frac{1}{x_1}\right)}^2+{\left(\frac{1}{x_2}\right)}^2=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2\cdot x_2^2}=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1\cdot x_2}{{\left(x_1\cdot x_2\right)}^2},x_1\ne 0,x_2\ne 0$  

Korzystając ze wzorów Viete'a wiemy, że:

$x_2+x_1=-\frac{-5\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{5\sqrt{18}}{6}=\frac{15\sqrt{2}}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=2$  

zatem:

$\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1\cdot x_2}{{\left(x_1\cdot x_2\right)}^2}=\frac{{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2-2\cdot 2}{2^2}=$  

$=\frac{\frac{50}{4}-4}{4}=\frac{\frac{50}{4}-\frac{16}{4}}{4}=\frac{\frac{34}{4}}{4}=\frac{34}{16}=\frac{17}{8}=2\frac{1}{8}$