Rozwiąż nierówność ...- Zadanie 3.220: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) (x - 3)^{2} - 9 < 9$

zatem:

$(x - 3)^{2} - 9 < 9 \land (x - 3)^{2} - 9 > - 9$

$(x - 3)^{2} - 18 < 0 \land (x - 3)^{2} > 0$

Rozwiążmy nierówność:

$(x - 3)^{2} - 18 < 0$

$x^{2} - 6 x + 9 - 18 < 0$

$x^{2} - 6 x - 9 < 0$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9) = 36 + 36 = 72, Δ = 62$

$x_{1} = \frac{6 - 6 2}{2} = 3 - 32$

$x_{2} = \frac{6 + 6 2}{2} = 3 + 32$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x²-6x-9 są skierowane w górę, zatem nierówność ta jest spełniona dla:

$x \in (3 - 32, 3 + 32)$

Rozwiążmy nierówność:

$(x - 3)^{2} > 0$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem nierówność nie jest spełniona tylko wtedy gdy:

$(x - 3)^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

zatem ta nierówność jest spełniona dla:

$x \in R - {3}$

Biorąc pod uwagę rozwiązania tych dwóch nierówności otrzymujemy, że:

$x \in (3 - 32, 3) \cup (3, 3 + 32)$

$b) ∣ (x - 2) (x + 3) ∣ > ∣ x + 3 ∣$

$∣ x - 2 ∣ \cdot ∣ x + 3 ∣ > ∣ x + 3 ∣$

$∣ x - 2 ∣ \cdot ∣ x + 3 ∣ - ∣ x + 3 ∣ > 0$

$∣ x + 3 ∣ \cdot (∣ x - 2 ∣ - 1) > 0$

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ x + 3 ∣ = {x + 3 gdy x \geq - 3 - x - 3 gdy x \leq - 3$

$∣ x - 2 ∣ = {x - 2 gdy x \geq 2 - x + 2 gdy x \leq 2$

Rozważmy 3 przypadki:

$1) x \in ⟨ 2, + \infty)$

$(x + 3) \cdot ((x - 2) - 1) > 0$

$(x + 3) (x - 3) > 0$

$x^{2} - 9 > 0$

$x^{2} > 9$

$∣ x ∣ > 3$

$x > 3 \lor x < - 3$

Biorąc pod uwagę, że $x \in ⟨ 2, + \infty)$ otrzymujemy, że:

$x \in (3, + \infty)$

$2) x \in ⟨ - 3, 2)$

$(x + 3) \cdot ((- x + 2) - 1) > 0$

$(x + 3) (- x + 1) > 0$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=(x+3)(1-x) są skierowane w dół, zatem: $x \in (- 3, 1)$ , a biorąc pod uwagę, że $x \in ⟨ - 3, 2)$ otrzymujemy, że:

$x \in (- 3, 1)$

$3) x \in (- \infty, - 3)$

$(- x - 3) \cdot ((- x + 2) - 1) > 0$

$(- x - 3) (- x + 1) > 0$

$(x + 3) (x - 1) > 0$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=(x+3)(x-1) są skierowane w górę, zatem: $x \in (- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ , a biorąc pod uwagę, że $x \in (- \infty, - 3)$ otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, - 3)$

Biorąc pod uwagę rozwiązania tych 3 przypadków otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, - 3) \cup (- 3, 1) \cup (3, + \infty)$

$c) x^{2} - x ∣ - 2 ∣ > 2$

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$x^{2} - x ∣ - 2 ∣ = {x^{2} - x - 2 gdy x \geq 0 x^{2} + x - 2 gdy x < 0$

1. Rozwiążmy nierówność:

$x^{2} - x - 2 > 2 gdy x \geq 0$

$x^{2} - x - 2 > 2 \lor x^{2} - x - 2 < - 2$

$x^{2} - x - 4 > 0 \lor x^{2} - x < 0$

zatem:

$1) x^{2} - x - 4 > 0$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 1 + 16 = 17, Δ = 17$

$x_{1} = \frac{1 - 17}{2}$

$x_{2} = \frac{1 + 17}{2}$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x²-x-4 są skierowane w górę, więc:

$x \in (- \infty, \frac{1 - 17}{2}) \cup (\frac{1 + 17}{2}, + \infty)$

$2) x^{2} - x < 0$

$x (x - 1) < 0$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x²-x są skierowane w górę, więc:

$x \in (0, 1)$

Biorąc pod uwagę rozwiązania nierówności 1), 2) i założenie, ze $x \geq 0$ otrzymujemy, że:

$x \in (0, 1) \cup (\frac{1 + 17}{2}, + \infty)$

2. Rozwiążmy nierówność:

$x^{2} + x - 2 > 2 gdy x < 0$

$x^{2} + x - 2 > 2 \lor x^{2} + x - 2 < - 2$

$x^{2} + x - 4 > 0 \lor x^{2} + x < 0$

zatem:

$1) x^{2} + x - 4 > 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 1 + 16 = 17, Δ = 17$

$x_{1} = \frac{- 1 - 17}{2}$

$x_{2} = \frac{- 1 + 17}{2}$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x²+x-4 są skierowane w górę, więc:

$x \in (- \infty, \frac{- 1 - 17}{2}) \cup (\frac{- 1 + 17}{2}, + \infty)$

$2) x^{2} + x < 0$

$x (x + 1) < 0$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x²+x są skierowane w górę, więc:

$x \in (- 1, 0)$

Biorąc pod uwagę rozwiązania nierówności 1), 2) i założenie, ze $x < 0$ otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, \frac{- 1 - 17}{2}) \cup (- 1, 0)$

zatem biorąc uwagę rozwiązania 1. i 2. otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, \frac{- 1 - 17}{2}) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (\frac{1 + 17}{2}, + \infty)$

$d) x^{2} - x^{2} - 5 x \geq 5 x$

$- x^{2} - 5 x \geq 5 x - x^{2}$

$x^{2} - 5 x \leq x^{2} - 5 x$

zatem:

$x^{2} - 5 x \leq x^{2} - 5 x \land x^{2} - 5 x \geq - x^{2} + 5 x$

$- 5 x \leq - 5 x \land 2 x^{2} - 10 x \geq 0$

Nierówność:

$- 5 x \leq - 5 x$

jest spełnia dla każdej liczby rzeczywistej

Rozwiążmy nierówność:

$2 x^{2} - 10 x \geq 0$

$2 x (x - 5) \geq 0$

$x (x - 5) \geq 0$

ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x(x-5) są skierowane w górę, zatem ta nierówność jest spełniona dla:

$x \in (- \infty, 0 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)$

Biorąc pod uwagę rozwiązania tych dwóch nierówności otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, 0 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)$

$e) x^{2} - 5 ∣ x - 1 ∣ \leq 2 x - 7$

$- 5 ∣ x - 1 ∣ \leq - x^{2} + 2 x - 7$

$5 ∣ x - 1 ∣ \geq x^{2} - 2 x + 7$

zatem:

$5 (x - 1) \geq x^{2} - 2 x + 7 \lor 5 (x - 1) \leq - x^{2} + 2 x - 7$

$5 x - 5 \geq x^{2} - 2 x + 7 \lor 5 x - 5 \leq - x^{2} + 2 x - 7$

$x^{2} - 7 x + 12 \leq 0 \lor - x^{2} - 3 x - 2 \geq 0$

Rozwiążmy nierówność:

$x^{2} - 7 x + 12 \leq 0$

$Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1, Δ = 1$

$x_{1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=(x-3)(x-4) są skierowane w górę, zatem ta nierówność jest spełniona dla:

$x \in ⟨ 3, 4 ⟩$

Rozwiążmy nierówność:

$- x^{2} - 3 x - 2 \geq 0$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2) = 9 - 8 = 1, Δ = 1$

$x_{1} = \frac{3 - 1}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1$

$x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{- 2} = - 2$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=-(x+1)(x+2) są skierowane w górę, zatem ta nierówność jest spełniona dla:

$x \in ⟨ - 2, - 1 ⟩$

Biorąc pod uwagę rozwiązania tych dwóch nierówności otrzymujemy, że:

$x \in ⟨ - 2, - 1 ⟩ \cup ⟨ 3, 4 ⟩$

$f) x^{2} - 1 + x^{2} - 3 > 4$

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$x^{2} - 1 = {x^{2} - 1 gdy x^{2} \geq 1 - x^{2} + 1 gdy x^{2} \leq 1$

$x^{2} - 1 = {x^{2} - 1 gdy x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty) - x^{2} + 1 gdy x \in (- 1, 1)$

$x^{2} - 3 = {x^{2} - 3 gdy x^{2} \geq 3 - x^{2} + 3 gdy x^{2} \leq 3$

$x^{2} - 3 = {x^{2} - 3 gdy x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty) - x^{2} + 3 gdy x \in (- 3, 3)$

Rozważmy 3 przypadki:

$1) x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty)$

$(x^{2} - 1) + (x^{2} - 3) > 4$

$2 x^{2} - 4 > 4$

$2 x^{2} > 8$

$x^{2} > 4$

$∣ x ∣ > 2$

$x > 2 \lor x < - 2$

$x \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

Biorąc pod uwagę, że $x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty)$ otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

$2) x \in ⟨ - 3, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, 3 ⟩$

$(x^{2} - 1) + (- x^{2} + 3) > 4$

$2 > 4$

Ta nierówność jest sprzeczna.

$3) x \in (- 1, 1)$

$(- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 3) > 4$

$- 2 x^{2} + 4 > 4$

$- 2 x^{2} > 0$

$x^{2} < 0$

Ta nierówność jest sprzeczna.

Biorąc pod uwagę rozwiązania tych 3 przypadków otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

Premium

9:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.