a) x2+2x+3=∣2x∣
Oznaczamy pomocniczo:
f(x)=x2+2x+3
Zauważmy, że:
Δ=22−4⋅1⋅3=4−12<0
zatem:
f(x)>0⇔x∈R
x2+2x+3=x2+2x+3
więc:
∣2x∣=x2+2x+3
czyli:
2x=x2+2x+3 ∨ 2x=−(x2+2x+3)
2x=x2+2x+3 ∨ 2x=−x2−2x−3
x2+3=0 ∨ −x2−4x−3=0
Rozwiążmy równanie:
x2+3=0
x2=−3
To równanie jest sprzeczne.
Rozwiążmy równanie:
−x2−4x−3=0
Δ=(−4)2−4⋅(−1)⋅(−3)=16−12=4, Δ=2
x1=−24−2=−22=−1
x2=−24+2=−26=−3
Zatem rozwiązania tego równania to:
x∈{−3,−1}
b) ∣4−x∣=41x2−2x+4
Oznaczamy pomocniczo:
f(x)=41x2−2x+4
Zauważmy, że:
Δ=(−2)2−4⋅41⋅4=4−4=0
zatem:
f(x)≥0⇔x∈R
zatem:
41x2−2x+4=41x2−2x+4
więc:
∣4−x∣=41x2−2x+4
czyli:
4−x=41x2−2x+4 ∨ 4−x=−(41x2−2x+4)
41x2−x=0 ∨ −41x2+3x−8=0
Rozwiążmy równanie:
41x2−x=0
x⋅(41x−1)=0
x=0 ∨ 41x−1=0
x=0 ∨ 41x=1
x=0 ∨ x=4
Rozwiążmy równanie:
−41x2+3x−8=0
Δ=32−4⋅(−41)⋅(−8)=9−8=1, Δ=1
x1=−21−3−1=−21−4=−4⋅(−2)=8
x2=−21−3+1=−21−2=−2⋅(−2)=4
Zatem rozwiązania tego równania to:
x∈{0,4,8}
c) x2+12=8x+x2−8x+12
x2−8x+12=x2−8x+12
Równanie ma rozwiązanie dla:
x2−8x+12≥0
Δ=(−8)2−4⋅1⋅12=64−48=16, Δ=4
x1=28−4=24=2
x2=28+4=212=6
zatem:
x∈(−∞,2⟩∪⟨6,+∞)
dla powyższych wartości x zachodzi równość:
x2−8x+12=x2−8x+12
czyli:
x2−8x+12=x2−8x+12
0=0
Zatem rozwiązania tego równania to:
x∈(−∞,2⟩∪⟨6,+∞)
d) x2−3x−1=3
zatem:
x2−3x−1=3 ∨ x2−3x−1=−3
x2−3x=4 ∨ x2−3x=−2
Wartość bezwzględna z każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem drugie równanie jest sprzeczne.
Rozwiążmy pierwsze równanie:
x2−3x=4
1) x2−3x=4 ∨ 2) x2−3x=−4
1) x2−3x−4=0 ∨ 2) x2−3x+4=0
Rozwiążmy równanie 1):
x2−3x−4=0
Δ=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=9+16=25, Δ=5
x1=23−5=2−2=−1
x2=23+5=28=4
Rozwiążmy równanie 2):
x2−3x+4=0
Δ=(−3)2−4⋅1⋅4=9−16<0
To równanie nie ma rozwiązania.
Zatem rozwiązania tego równania to:
x∈{−1,4}
e) x2−9=9−x2
Założenia:
9−x2≥0
(3−x)(3+x)≥0
zatem:
x∈⟨−3,3⟩
więc:
x2−9=9−x2 ∨ x2−9=−(9−x2)
x2−9=9−x2 ∨ x2−9=−9+x2
2x2=18 ∨ −9=−9
x2=9 ∨ 0=0
więc:
x∈R
Po uwzględnieniu założeń rozwiązania tego równania to argumenty:
x∈⟨−3,3⟩
f) x2−1+∣x+1∣=0
I sposób:
Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
x2−1={x2−1 gdy x2−1≥0−x2+1 gdy x2−1<0
x2−1={x2−1 gdy x2≥1−x2+1 gdy x2<1
x2−1={x2−1 gdy x∈(−∞,−1⟩∪⟨1,+∞)−x2+1 gdy x∈(−1,1)
oraz:
∣x+1∣={x+1 gdy x+1≥0−x−1 gdy x+1<0
∣x+1∣={x+1 gdy x≥−1−x−1 gdy x<−1
∣x+1∣={x+1 gdy x∈⟨−1,+∞)−x−1 gdy x∈(−∞,−1)
zatem:
x2−1+∣x+1∣=⎩⎨⎧x2−1+x+1 gdy x∈⟨1,+∞)−x2+1+x+1 gdy x∈(−1,1)x2−1−x−1 gdy x∈(−∞,−1)
x2−1+∣x+1∣=⎩⎨⎧x2+x gdy x∈⟨1,+∞)−x2+x+2 gdy x∈⟨−1,1)x2−x−2 gdy x∈(−∞,−1)
Rozpatrzymy 3 przypadki:
1) x∈⟨1,+∞)
x2+x=0
x(x+1)=0
x=0 ∨ x+1=0
x=0∈/⟨1,+∞) ∨ x=−1∈/⟨1,+∞)
2) x∈⟨−1,1)
−x2+x+2=0
Δ=12−4⋅(−1)⋅2=1+8=9, Δ=3
x1=−2−1−3=−2−4=2∈/⟨−1,1)
x2=−2−1+3=−22=−1∈⟨−1,1)
3) x∈(−∞,−1)
x2−x−2=0
Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=1+8=9, Δ=3
x1=21−3=2−2=−1∈/(−∞,−1)
x2=21+3=24=2∈/(−∞,−1)
Zatem rozwiązanie tego równania to:
x=−1
II sposób:
Zauważmy, że liczby:
x2−1 ∧ ∣x+1∣
są nieujemne, zatem ich suma będzie równa 0 wtedy i tylko wtedy gdy:
x2−1=0 ∧ ∣x+1∣=0
x2−1=0 ∧ x+1=0
(x−1)(x+1)=0 ∧ x=−1
[x=1 ∨ x=−1] ∧ x=−1
Zatem:
x=−1
