Rozwiąż algebraicznie równanie...- Zadanie 3.211: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$(x - 3)^{2} = 4 ∣ x - 3 ∣ ∣ : 4$

$∣ x - 3 ∣ = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{4}$

Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych (wartość bezwzględna z liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, zatem dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenia po lewej i prawej stronie równania są nieujemne).

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy

$x - 3 = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{4} \lor x - 3 = - \frac{( x - 3 ) ^{2}}{4}$

$x = \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{4} + 3 \lor x = - \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{4} + 3$

$x = \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{4} + \frac{12}{4} \lor x = - \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{4} + \frac{12}{4}$

$x = \frac{x ^{2} - 6 x + 21}{4} \lor x = \frac{- x ^{2} + 6 x - 9}{4} + \frac{12}{4}$

$4 x = x^{2} - 6 x + 21 \lor 4 x = - x^{2} + 6 x + 3$

$x^{2} - 10 x + 21 = 0 \lor - x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Rozwiążmy równanie:

$x^{2} - 10 x + 21 = 0$

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 21 = 100 - 84 = 16, Δ = 4$

$x_{1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_{2} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Rozwiążmy równanie:

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16, Δ = 4$

$x_{1} = \frac{- 2 - 4}{- 2} = \frac{- 6}{- 2} = 3$

$x_{2} = \frac{- 2 + 4}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1$

zatem rozwiązaniem podanego równania są liczby

$x = - 1 \lor x = 3 \lor x = 7$

$x^{2} - 6 ∣ x ∣ + 5 = 0$

$- 6 ∣ x ∣ = - x^{2} - 5$

$6 ∣ x ∣ = x^{2} + 5$

Dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych (wartość bezwzględna z liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, zatem dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenia po lewej i prawej stronie równania są nieujemne).

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy

$6 x = x^{2} + 5 \lor 6 x = - (x^{2} + 5)$

$x^{2} - 6 x + 5 = 0 \lor - x^{2} - 6 x - 5 = 0$

Rozwiążmy równanie:

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16, Δ = 4$

$x_{1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Rozwiążmy równanie:

$- x^{2} - 6 x - 5 = 0$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 36 - 20 = 16, Δ = 4$

$x_{1} = \frac{6 - 4}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1$

$x_{2} = \frac{6 + 4}{- 2} = \frac{10}{- 2} = - 5$

zatem:

$x = - 5 \lor x = - 1 \lor x = 1 \lor x = 5$

$3 (x + 2)^{2} + 16 ∣ x + 2 ∣ + 5 = 0$

$16 ∣ x + 2 ∣ = - 3 (x + 2)^{2} - 5$

To równanie jest sprzeczne ponieważ lewa strona jest liczbą nieujemną, a prawa ujemną.

$x^{2} + 4 x + ∣ x + 2 ∣ = 16$

$∣ x + 2 ∣ = 16 - x^{2} - 4 x$

Założenia:

wyrażenie po lewej stronie równania jest nieujemne, zatem aby równanie miało sens liczbowy, wyrażenie po prawej stronie równania także musi być nieujemne, czyli

$16 - x^{2} - 4 x \geq 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16 = 16 + 64 = 80, Δ = 45$

$x_{1} = \frac{4 - 4 5}{- 2} = - 2 + 25$

$x_{2} = \frac{4 + 4 5}{- 2} = - 2 - 25$

więc:

$x \in ⟨ - 2 - 25, - 2 + 25 ⟩$

zatem:

$x + 2 = 16 - x^{2} - 4 x \lor x + 2 = - (16 - x^{2} - 4 x)$

$x + 2 = - x^{2} - 4 x + 16 \lor x + 2 = - 16 + x^{2} + 4 x$

$- x^{2} - 5 x + 14 = 0 \lor x^{2} + 3 x - 18 = 0$

Rozwiążmy równanie:

$- x^{2} - 5 x + 14 = 0$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14 = 25 + 56 = 81, Δ = 9$

$x_{1} = \frac{5 - 9}{- 2} = \frac{- 4}{- 2} = 2 \in ⟨ 2 - 25, 2 + 25 ⟩$

$x_{2} = \frac{5 + 9}{- 2} = \frac{14}{- 2} = - 7 \in / ⟨ 2 - 25, 2 + 25 ⟩$

Rozwiążmy równanie:

$x^{2} + 3 x - 18 = 0$

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18) = 9 + 72 = 81, Δ = 9$

$x_{1} = \frac{- 3 - 9}{2} = - \frac{12}{2} = - 6 \in ⟨ 2 - 25, 2 + 25 ⟩$

$x_{2} = \frac{- 3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \in / ⟨ 2 - 25, 2 + 25 ⟩$

zatem:

$x = 2 \lor x = - 6$

$(x + 1) (∣ x ∣ - 1) = - 0, 5$

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$1) x \geq 0$

$(x + 1) (x - 1) = - 0, 5$

$x^{2} - 1 = - 0, 5$

$x^{2} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2} \lor x = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2}{2} > 0 \lor x = - \frac{2}{2} < 0$

$2) x < 0$

$(x + 1) (- x - 1) = - 0, 5$

$- (x + 1)^{2} = - 0, 5$

$(x + 1)^{2} = 0, 5$

$∣ x + 1 ∣ = 0, 5$

$∣ x + 1 ∣ = \frac{2}{2}$

$x + 1 = \frac{2}{2} \lor x + 1 = - \frac{2}{2}$

$x = \frac{2}{2} - 1 \lor x = - \frac{2}{2} - 1$

zatem:

$x = \frac{2}{2} \lor x = \frac{2}{2} - 1 \lor x = - \frac{2}{2} - 1$

$4 - x - 0, 5 x^{2} = 4$

zatem:

$4 - x - 0, 5 x^{2} = 4 \lor 4 - x - 0, 5 x^{2} = - 4$

$- x - 0, 5 x^{2} = 0 \lor - 0, 5 x^{2} - x + 8 = 0$

Rozwiążmy równanie:

$- 0, 5 x^{2} - x = 0$

$x (- 0, 5 x - 1) = 0$

$x = 0 \lor - 0, 5 x - 1 = 0$

$x = 0 \lor - 0, 5 x = 1$

$x = 0 \lor x = - 2$

Rozwiążmy równanie:

$- 0, 5 x^{2} - x + 8 = 0$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 0, 5) \cdot 8 = 1 + 16 = 17, Δ = 17$

$x_{1} = \frac{1 - 17}{- 1} = 17 - 1$

$x_{2} = \frac{1 + 17}{- 1} = - 17 - 1$

zatem:

$x = - 2 \lor x = 0 \lor x = 17 - 1 \lor x = - 17 - 1$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Działania na wyrażeniach algebraicznych – wyłączanie czynnika przed nawias

Premium

7:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące równań

Premium

10:01

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.