a)

Rozważamy funkcję 

$f\left(x\right)=\sqrt{2x^2-mx+2}$  

Chcemy aby dziedziną funkcji f był zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że będzie tak gdy dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie pod pierwiastkiem będzie liczbą nieujemną (pierwiastek kwadratowy jest określony z liczb nieujemnych), czyli gdy dla każdego x spełniona będzie nierówność 

$2x^2-mx+2\ge 0$  

trójmian kwadratowy znajdujący się po lewej stronie nierówności ma dodatni współczynnik przy x², oznacza to że ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry". Zatem nierówność jest spełniona gdy trójmian nie ma miejsc zerowych (wtedy wykres funkcji leży nad osią OX) lub gdy ma dokładnie jedno miejsce zerowe (wtedy wierzchołek paraboli leży na osi OX), co symbolicznie możemy zapisać jako 

$\Delta \le 0$  

skąd dostajemy 

${\left(-m\right)}^2-4\cdot 2\cdot 2\le 0$   

$m^2-16\le 0$  

$\left(m-4\right)\left(m+4\right)\le 0$  

czyli

$m\in ⟨-4,4⟩$  

---

b)

Rozważamy funkcję 

$f\left(x\right)=\sqrt{3x^2+mx-m-3}$  

Dziedziną funkcji f ma być zbiór liczb rzeczywistych.

Będzie tak gdy dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie pod pierwiastkiem będzie liczbą nieujemną, czyli gdy dla każdego x spełniona będzie nierówność 

$3x^2+mx-m-3\ge 0$  

trójmian kwadratowy znajdujący się po lewej stronie nierówności ma dodatni współczynnik przy x², oznacza to że ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry". Zatem nierówność jest spełniona gdy trójmian nie ma miejsc zerowych lub gdy ma dokładnie jedno miejsce zerowe, co symbolicznie możemy zapisać jako 

$\Delta \le 0$  

skąd dostajemy 

$m^2-4\cdot 3\cdot \left(-m-3\right)\le 0$  

$m^2+12m+36\le 0$  

${\Delta }_m={12}^2-4\cdot 36=144-144=0$  

$m_0=\frac{-12}{2}=-6$  

czyli 

$m=-6$  

---

c)

Rozważamy funkcję 

$f\left(x\right)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2+\left(m-1\right)x+4}}$  

Chcemy aby dziedziną funkcji f był zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że będzie tak gdy dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie pod pierwiastkiem będzie liczbą dodatnią (pierwiastek kwadratowy jest określony z liczb nieujemnych i w mianowniku nie może być zera), czyli gdy dla każdego x spełniona będzie nierówność 

$x^2+\left(m-1\right)x+4>0$  

trójmian kwadratowy znajdujący się po lewej stronie nierówności ma dodatni współczynnik przy x², oznacza to że ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry". Nierówność jest więc spełniona gdy trójmian nie ma miejsc zerowych, co symbolicznie możemy zapisać jako 

$\Delta <0$  

skąd mamy 

${\left(m-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4<0$  

$m^2-2m+1-16<0$  

$m^2-2m-15<0$  

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$m_1=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$m_2=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$  

czyli 

$m\in \left(-3,5\right)$  

---

d)

Rozważamy funkcję 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+\left(m+2\right)x+m^2}}$  

Chcemy aby dziedziną funkcji f był zbiór liczb rzeczywistych. Zauważmy, że będzie tak gdy dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie pod pierwiastkiem będzie liczbą dodatnią (pierwiastek kwadratowy jest określony z liczb nieujemnych i w mianowniku nie może być zera), czyli gdy dla każdego x spełniona będzie nierówność 

$x^2+\left(m+2\right)x+m^2>0$  

trójmian kwadratowy znajdujący się po lewej stronie nierówności ma dodatni współczynnik przy x², oznacza to że ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry". Nierówność jest więc spełniona gdy trójmian nie ma miejsc zerowych, co symbolicznie możemy zapisać jako  

$\Delta <0$

skąd mamy  

${\left(m+2\right)}^2-4\cdot 1\cdot m^2<0$  

$m^2+4m+4-4m^2<0$  

$-3m^2+4m+4<0$  

${\Delta }_m=4^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 4=16+48=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$m_1=\frac{-4-8}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-12}{-6}=2$  

$m_2=\frac{-4+8}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$  

czyli

$m\in \left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)\cup \left(2,+\infty \right)$