Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABE:

$x^2=c^2+d^2-2cd\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

---

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE:

$y^2=a^2+d^2-2ad\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

---

Z twierdzenia o dwusiecznej:

$\frac{c}{a}=\frac{x}{y}\mid {}^2$  

$\frac{c^2}{a^2}=\frac{x^2}{y^2}$  

$\frac{c^2}{a^2}=\frac{c^2+d^2-2cd\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a^2+d^2-2ad\cdot \cos \frac{\beta }{2}}$  

$a^2\left(c^2+d^2-2cd\cdot \cos \frac{\beta }{2}\right)=c^2\left(a^2+d^2-2ad\cdot \cos \frac{\beta }{2}\right)$  

$\cancel{a^2{c}^2}+a^2{d}^2-2a^{2}cd\cdot \cos \frac{\beta }{2}=\cancel{a^2{c}^2}+c^2{d}^2-2a{c}^{2}d\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

$a^2{d}^2-2a^{2}cd\cdot \cos \frac{\beta }{2}=c^2{d}^2-2a{c}^{2}d\cdot \cos \frac{\beta }{2}\mid :d,d\ne 0$  

$a^{2}d-2a^{2}c\cdot \cos \frac{\beta }{2}=c^{2}d-2a{c}^2\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

$a^{2}d-c^{2}d=2a^{2}c\cdot \cos \frac{\beta }{2}-2a{c}^2\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

$\left(a^2-c^2\right)d=2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}\left(a-c\right)$  

$\left(a-c\right)\left(a+c\right)d=2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}\cdot \left(a-c\right)$  

$\left(a-c\right)\left(a+c\right)d-2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}\cdot \left(a-c\right)=0$  

$\left(a-c\right)\left[\left(a+c\right)d-2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}\right]=0$  

$a-c=0\text{lub}\left(a+c\right)d-2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}=0$  

$a=c\text{lub}\left(a+c\right)d=2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}\mid :\left(a+c\right),a+c\ne 0$  

$a=c\text{lub}d=\frac{2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}$  

---

Otrzymaliśmy, że dla a≠c:

$d=\frac{2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}$  

$\left|BE\right|=\frac{2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}$  

---

Natomiast dla a=c trójkąt ABC jest równoramienny i wówczas odcinek BE jest wysokością trójkąta.

Wtedy wzór, który chcemy dowieść przyjmuje postać:

$\frac{2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}=\frac{2c\cdot c\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{c+c}=\frac{2c^2\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{2c}=c\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ABE:

$\frac{d}{c}=\cos \frac{\beta }{2}\mid \cdot c$  

$d=c\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

$\left|BE\right|=c\cdot \cos \frac{\beta }{2}$  

---

Pokazaliśmy, ze w obu przypadkach odcinek BE ma podaną długość, co kończy dowód.