Nie wiemy, które odcinki są bokami, a które wysokością trójkąta, więc rozważymy wszystkie możliwości.

---

$\left(1\right)h=15,a=14,b=13,c=12$  

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{14+13+12}{2}=\frac{39}{2}$  

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\frac{39}{2}\cdot \left(\frac{39}{2}-14\right)\cdot \left(\frac{39}{2}-13\right)\cdot \left(\frac{39}{2}-12\right)}=\sqrt{\frac{39}{2}\cdot \left(\frac{39}{2}-\frac{28}{2}\right)\cdot \left(\frac{39}{2}-\frac{26}{2}\right)\cdot \left(\frac{39}{2}-\frac{24}{2}\right)}=\sqrt{\frac{39}{2}\cdot \frac{11}{2}\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{15}{2}}=\sqrt{\frac{13\cdot 3\cdot 11\cdot 13\cdot 3\cdot 5}{16}}=\sqrt{\frac{{13}^2\cdot 3^2\cdot 11\cdot 5}{4^2}}=\frac{13\cdot 3\cdot \sqrt{55}}{4}=\frac{39\sqrt{55}}{4}$  

Obliczamy długość boku, na którą została opuszczona wysokość h=15:

$P=\frac{1}{2}xh\mid \cdot \frac{2}{h}$  

$x=\frac{2P}{h}=\frac{2\cdot \frac{39\sqrt{55}}{4}}{15}=\frac{39\sqrt{55}}{30}=\frac{13\sqrt{55}}{10}$  

Otrzymany wynik nie jest równy żadnej z danych długości boków, więc nie istnieje trójkąt o bokach 14, 13, 12 i wysokości równej 15.

---

$\left(2\right)h=14,a=15,b=13,c=12$  

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+13+12}{2}=\frac{40}{2}=20$  

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{20\cdot \left(20-15\right)\cdot \left(20-13\right)\cdot \left(20-12\right)}=\sqrt{20\cdot 5\cdot 7\cdot 8}=\sqrt{4\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{4^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 2}=4\cdot 5\sqrt{7\cdot 2}=20\sqrt{14}$  

Obliczamy długość boku, na którą została opuszczona wysokość h=14:

$P=\frac{1}{2}xh\mid \cdot \frac{2}{h}$  

$x=\frac{2P}{h}=\frac{2\cdot 20\sqrt{14}}{14}=\frac{40\sqrt{14}}{14}=\frac{20\sqrt{14}}{4}$  

Otrzymany wynik nie jest równy żadnej z danych długości boków, więc nie istnieje trójkąt o bokach 15, 13, 12 i wysokości równej 14.

---

$\left(3\right)h=13,a=15,b=14,c=12$  

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+14+12}{2}=\frac{41}{2}$  

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\frac{41}{2}\cdot \left(\frac{41}{2}-15\right)\cdot \left(\frac{41}{2}-14\right)\cdot \left(\frac{41}{2}-12\right)}=\sqrt{\frac{41}{2}\cdot \left(\frac{41}{2}-\frac{30}{2}\right)\cdot \left(\frac{41}{2}-\frac{28}{2}\right)\cdot \left(\frac{41}{2}-\frac{24}{2}\right)}=\sqrt{\frac{41}{2}\cdot \frac{11}{2}\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{17}{2}}=\sqrt{\frac{41\cdot 11\cdot 13\cdot 17}{16}}=\frac{\sqrt{41\cdot 11\cdot 13\cdot 17}}{4}$  

Obliczamy długość boku, na którą została opuszczona wysokość h=13:

$P=\frac{1}{2}xh\mid \cdot \frac{2}{h}$  

$x=\frac{2P}{h}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{41\cdot 11\cdot 13\cdot 17}}{4}}{13}=\frac{\sqrt{41\cdot 11\cdot 13\cdot 17}}{26}$  

Otrzymany wynik nie jest równy żadnej z danych długości boków, więc nie istnieje trójkąt o bokach 15, 14, 12 i wysokości równej 13.

---

$\left(4\right)h=12,a=15,b=14,c=13$  

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+14+13}{2}=\frac{42}{2}=21$  

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{21\cdot \left(21-15\right)\cdot \left(21-14\right)\cdot \left(21-13\right)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 7\cdot 8}=\sqrt{3\cdot 7\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot 2\cdot 4}=\sqrt{3^2\cdot 4^2\cdot 7^2}=3\cdot 4\cdot 7=12\cdot 7$  

Obliczamy długość boku, na którą została opuszczona wysokość h=12:

$P=\frac{1}{2}xh\mid \cdot \frac{2}{h}$  

$x=\frac{2P}{h}=\frac{2\cdot 12\cdot 7}{12}=2\cdot 7=14=b$  

Wobec tego szukany trójkąt to trójkąt o bokach 15, 14, 13 i wysokości równej 12 opuszczonej na bok o długości 14.

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ABD:

$\sin \alpha =\frac{h}{c}=\frac{12}{13}\approx 0,9231$  

Zatem:

$\alpha \approx {67}^{\circ }$  

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta BCD:

$\sin \gamma =\frac{h}{a}=\frac{12}{15}=0,8$  

Zatem:

$\gamma \approx {53}^{\circ }$  

---

Z sumy kątów w trójkącie wyznaczamy przybliżoną miarę kąta β:

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

${67}^{\circ }+\beta +{53}^{\circ }\approx {180}^{\circ }$  

$\beta +{120}^{\circ }\approx {180}^{\circ }$  

$\beta \approx {60}^{\circ }$  

---

$\text{Odp.}a=15,b=14,c=13,\alpha \approx {67}^{\circ },\beta \approx {60}^{\circ },\gamma \approx {53}^{\circ }.$