Twierdzenie cosinusów Dla dowolnego trójkąta (oznaczenia jak na rysunku) prawdziwe są następujące zależności: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$   $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Czworokąt ABCD można wpisać w okrąg, więc:

$\alpha +\gamma ={180}^{\circ }\Rightarrow \gamma ={180}^{\circ }-\alpha$  

$\beta +\delta ={180}^{\circ }\Rightarrow \delta ={180}^{\circ }-\beta$  

---

Zapisując twierdzenie cosinusów dla trójkątów ABD i BCD, otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}{x}^2=1^2+4^2-2\cdot 1\cdot 4\cdot \cos \alpha \\ x^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos \gamma \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=1+16-8\cos \alpha \\ x^2=4+9-12\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=17-8\cos \alpha \\ x^2=13-12\cdot \left(-\cos \alpha \right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=17-8\cos \alpha \mid \cdot 3\\ x^2=13+12\cos \alpha \mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x^2=51-24\cos \alpha \\ 2x^2=26+24\cos \alpha \end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$5x^2=77\mid :5$  

$x^2=\frac{77}{5}$  

$x=\sqrt{\frac{77}{5}}$  

$\left|BD\right|=\sqrt{\frac{77}{5}}$  

---

Zapisując twierdzenie cosinusów dla trójkątów ABC i ACD, otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}{y}^2=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cdot \cos \beta \\ y^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos \delta \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{y}^2=1+4-4\cos \beta \\ y^2=9+16-24\cos \left({180}^{\circ }-\beta \right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{y}^2=5-4\cos \beta \\ y^2=25-24\cdot \left(-\cos \beta \right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{y}^2=5-4\cos \beta \mid \cdot 6\\ y^2=25+24\cos \beta \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}6y^2=30-24\cos \beta \\ y^2=25+24\cos \beta \end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$7y^2=55\mid :7$  

$y^2=\frac{55}{7}$  

$y=\sqrt{\frac{55}{7}}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{\frac{55}{7}}$  

---

$\text{Odp.}\left|AC\right|=\sqrt{\frac{55}{7}},\left|BD\right|=\sqrt{\frac{77}{5}}.$