W sześciokącie foremnym poprowadzono wszystkie...- Zadanie 20: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

$P_{g} = 30 cm^{2}$

Miara kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego wynosi 120⁰.

Trójkąt ABF jest równoramienny, więc:

$∣ ∢ A F B ∣ = ∣ ∢ F B A ∣ = (180^{\circ} - 120^{\circ}) : 2 = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$

Trójkąty ALF i ABG są równoramienne, więc:

$∣ ∢ L A F ∣ = ∣ ∢ A F B ∣ = 30^{\circ}$

$∣ ∢ B A G ∣ = ∣ ∢ F B A ∣ = 30^{\circ}$

Wówczas:

$∣ ∢ G A L ∣ = ∣ ∢ B A F ∣ - (∣ ∢ L A F ∣ + ∣ ∢ B A G ∣) = 120^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$

Wobec tego trójkąt AGL jest równoboczny.

Na mocy przystawania trójkątów trójkąty BHG, CIH, DJI, EKJ, FLK również są równoboczne. Stąd:

$∣ G H ∣ = ∣ H I ∣ = ∣ I J ∣ = ∣ J K ∣ = ∣ K L ∣ = ∣ L G ∣$

Zatem sześciokąt GHIJKL jest foremny. Przekątne tego sześciokąta dzielą go na sześć trójkątów równobocznych przystających do trójkąta AGL. Wynika stąd, że narysowane odcinki podzieliły gwiazdę na 12 przystających trójkątów równobocznych.

Obliczamy pole jednego takiego trójkąta:

$P_{Δ} = \frac{P _{g}}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} [cm^{2}]$

Ze wzoru na pole trójkąta obliczamy kwadrat długości boku a:

$P_{Δ} = \frac{a ^{2} 3}{4}$

$\frac{5}{2} = \frac{a ^{2} 3}{4} ∣ \cdot 4$

$10 = a^{2} 3 ∣ : 3$

$a^{2} = \frac{10}{3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{10 3}{3}$

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego dla trójkąta AGL:

$\frac{1}{2} b = \frac{a 3}{2} ∣ \cdot 2$

$b = a 3$

Obliczamy pole sześciokąta jako sumę pół sześciu trójkątów równobocznych o boku b:

$P = 6 \cdot \frac{b ^{2} 3}{4} = 3 \cdot \frac{b ^{2} 3}{2} = 3 \cdot \frac{( a 3 ) ^{2} \cdot 3}{2} = 3 \cdot \frac{a ^{2} \cdot 3 \cdot 3}{2} = 3 \cdot \frac{\frac{10 3}{3} \cdot 3 \cdot 3}{2} = 3 \cdot \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{90}{2} = 45 [cm^{2}]$