Kąt środkowy w okręgu ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

---

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Kąty COA i CEA to kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku. Stąd:

$\left|\sphericalangle COA\right|=2\left|\sphericalangle CEA\right|=2\alpha$  

Kąty BOC i BDC to kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku. Stąd:

$\left|\sphericalangle BOC\right|=2\left|\sphericalangle BDC\right|=2\beta$  

Kąty COA i BOC są przylegle, więc:

$\left|\sphericalangle COA\right|+\left|\sphericalangle BOC\right|={180}^{\circ }$  

$2\alpha +2\beta ={180}^{\circ }$  

$2\left(\alpha +\beta \right)={180}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

---

---

b) Każdy z narysowanych trójkątów jest oparty na średnicy okręgu, więc jest prostokątny.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z sumy kątów dla trójkąta COD:

$\left|\sphericalangle COD\right|={90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$  

Z sumy kątów dla trójkąta ACE:

$\left|\sphericalangle EAC\right|={90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta OAB:

$\left|\sphericalangle OAB\right|=\left|\sphericalangle EAB\right|-\left|\sphericalangle EAC\right|={90}^{\circ }-{20}^{\circ }={70}^{\circ }$  

Z sumy kątów dla trójkąta ABO:

$\left|\sphericalangle BOA\right|={90}^{\circ }-\left|\sphericalangle OAB\right|={90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$  

Obliczamy miarę kąta α:

$\alpha =\left|\sphericalangle BOA\right|+\left|\sphericalangle AOC\right|+\left|\sphericalangle COD\right|={20}^{\circ }+{180}^{\circ }+{20}^{\circ }={220}^{\circ }$