Wykaż, że dla miar kątów zaznaczonych...- Zadanie 5: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Kąt środkowy w okręgu ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Kąty AOB i ACB to kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku, więc:

$∣ ∢ A O B ∣ = 2 ∣ ∢ A C B ∣ = 2 α$

Kąty EOD i EFD to kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku, więc:

$∣ ∢ E O D ∣ = 2 ∣ ∢ E F D ∣ = 2 β$

Kąty AOB i EOD to ten sam kąt, więc:

$2 α = 2 β ∣ : 2$

$α = β$

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Miarę kąta α wyznaczymy z sumy kątów trójkąta dla trójkąta ADE. W tym celu musimy wyznaczyć sumę miar kątów OAB, DAO, ODA, CDO.

Z sumy kątów dla trójkąta AOD:

$∣ ∢ D A O ∣ + ∣ ∢ O D A ∣ + β = 180^{\circ}$

$∣ ∢ D A O ∣ + ∣ ∢ O D A ∣ = 180^{\circ} - β$

Kąty BOA, COB, DOC i AOD tworzą kąt pełny. Stąd:

$∣ ∢ B O A ∣ + γ + ∣ ∢ D O C ∣ + β = 360^{\circ}$

$∣ ∢ B O A ∣ + ∣ ∢ D O C ∣ = 360^{\circ} - β - γ$

Trójkąty AOB i COD są równoramienne, więc:

$∣ ∢ O A B ∣ = (180^{\circ} - ∣ ∢ B O A ∣) : 2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} ∣ ∢ B O A ∣$

$∣ ∢ C D O ∣ = (180^{\circ} - ∣ ∢ D O C ∣) : 2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} ∣ ∢ D O C ∣$

Obliczamy sumę miar kątów OAB, DAO, ODA, CDO:

$∣ ∢ O A B ∣ + 180^{\circ} - β ∣ ∢ D A O ∣ + ∣ ∢ O D A ∣ + ∣ ∢ C D O ∣ = 90^{\circ} - \frac{1}{2} ∣ ∢ B O A ∣ + 180^{\circ} - β + 90^{\circ} - \frac{1}{2} ∣ ∢ D O C ∣ = 360^{\circ} - \frac{1}{2} 360^{\circ} - β - γ ∣ ∢ B O A ∣ + ∣ ∢ D O C ∣ = 360^{\circ} - β - \frac{1}{2} (360^{\circ} - β - γ) = 360^{\circ} - β - 180^{\circ} + \frac{1}{2} β + \frac{1}{2} γ = 180^{\circ} + \frac{1}{2} (γ - β)$

Z sumy kątów dla trójkąta ADE wyznaczmy miarę kąta α:

$α = 180^{\circ} - (∣ ∢ O A B ∣ + = ∣ ∢ D A O ∣ + ∣ ∢ O D A ∣ + ∣ ∢ C D O ∣) = 180^{\circ} - [180^{\circ} + \frac{1}{2} (γ - β)] = 180^{\circ} - 180^{\circ} - \frac{1}{2} (γ - β) = - \frac{1}{2} (γ - β) = \frac{1}{2} (β - γ)$