$\frac{4}{\left|x+2\right|-2}=mx$  

Oznaczmy:

$f\left(x\right)=\frac{4}{\left|x+2\right|-2}$  

$g\left(x\right)=mx$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f.

$\left|x+2\right|-2\ne 0$  

$\left|x+2\right|\ne 2$  

$x+2\ne -2\text{i}x+2\ne 2$  

$x\ne -4\text{i}x\ne 0$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-4,0\right\}$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{l}x+2\text{dla}x\ge -2\\ -\left(x+2\right)\text{dla}x<-2\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,-2\right)$  

Wówczas wzór funkcji f przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{4}{\left|x+2\right|-2}=\frac{4}{-\left(x+2\right)-2}=\frac{4}{-x-2-2}=\frac{4}{-x-4}=\frac{-4}{x+4}$  

• `x in <  

  Wówczas wzór funkcji f przyjmuje postać:

  $f\left(x\right)=\frac{4}{\left|x+2\right|-2}=\frac{4}{x+2-2}=\frac{4}{x}$

   

  Zatem wzór funkcji f możemy zapisać następująco, uwzględniając dziedzinę funkcji:

  `f(x)={((-4)/(x+4)\ \ \ "dla"\ \ \ x in (-oo, -4)uu(-4, -2)),(4/x\ \ \ "dla"\ \ \ x in <  

  ---

  Oznaczmy:

  $f_1\left(x\right)=\frac{-4}{x+4}$

   

  $f_2\left(x\right)=\frac{4}{x}$  

  Szkicujemy wykresu funkcji f₁ i f₂ we wspólnym układzie współrzędnych.

  

  ---

  Wykres funkcji f jest sumą wykresu funkcji f₁ w przedziale (-oo, -4)∪(-4, -2) i wykresu funkcji f₂ w przedziale <-2, 0)∪(0, +oo).

  

  ---

  Naszkicujmy we wspólnym układzie współrzędnych wykres funkcji g(x)=mx dla kilku wybranych wartości parametru m. W każdym przypadku wykresem funkcji g jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.

  

  ---

  Prostą y=mx możemy tylko obracać wokół punktu (0, 0), ale nie możemy jej przesuwać ani względne osi X, ani względem osi Y.

  Z rysunku możemy odczytać, że

  • wykresy funkcji f i g nie mają punktów wspólnych, gdy wykres funkcji g pokrywa się z osią X, czyli dla

  $m=0$  

  • wykresy funkcji f i g mają 2 punkty wspólne, gdy do wykresu funkcji g należy punkt (-2, -2), czyli:

  $g\left(-2\right)=-2$  

  $m\cdot \left(-2\right)=-2\mid :\left(-2\right)$  

  $m=1$  

  • wykresy funkcji f i g mają 3 punkty wspólne, gdy wykres funkcji g przecina wykres funkcji f poniżej prostej y=x, czyli dla

  $m>1$  

  • wykresy funkcji f i g mają 1 punkt wspólny, gdy wykres funkcji g przecina wykres funkcji f powyżej prostej y=x, czyli dla

  $m<1\text{i}m\ne 0$  

  Podsumowując:

  Równanie $\frac{4}{\left|x+2\right|-2}=mx:$  

  • ma 0 rozwiązań dla m=0,
  • ma 1 rozwiązanie dla m ∈ (-oo, 0) ∪ (0, 1),
  • ma 2 rozwiązania dla m=1,
  • ma 3 rozwiązania dla m ∈ (1, +oo).