Rozwiąż równanie:- Zadanie 11: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

$x^{3} + 27 = 4 x^{2} - 12 x + 36$

Przypadek I.

$x^{3} + 27 \geq 0$

$x^{3} \geq - 27$

$x \geq - 3$

Wtedy mamy:

$x^{3} + 27 = 4 x^{2} - 12 x + 36$

$x^{3} - 4 x^{2} + 12 x - 9 = 0$

$x^{3} - 3 x^{2} - x^{2} + 12 x - 9 = 0$

$x^{2} (x - 1) - 3 x^{2} + 12 x - 9 = 0$

$x^{2} (x - 1) - 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

$x^{2} (x - 1) - 3 (x - 3) (x - 1) = 0$

$(x - 1) (x^{2} - 3 (x - 3)) = 0$

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 < 0$

Zatem:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Przypadek II.

$x^{3} + 27 < 0$

$x^{3} < - 27$

$x < - 3$

Wtedy mamy:

$- x^{3} - 27 = 4 x^{2} - 12 x + 36$

$- x^{3} - 4 x^{2} + 12 x - 63 = 0$

$- x^{3} - 7 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 63 = 0$

$- x^{2} (x + 7) + 3 (x^{2} + 4 x - 21) = 0$

$- x^{2} (x + 7) + 3 (x - 3) (x + 7) = 0$

$(x + 7) (- x^{2} + 3 (x - 3)) = 0$

$(x + 7) (- x^{2} + 3 x - 9) = 0$

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9) < 0$

Zatem:

$x + 7 = 0$

$x = - 7$

Zatem ostatecznie:

$x = 1 \lor x = - 7$

$b)$

$x^{2} \cdot ∣ x - 1 ∣ + (x - 1) (4 x - 5) = 0$

Przypadek I.

$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

Wtedy mamy:

$x^{2} (x - 1) + (x - 1) (4 x - 5) = 0$

$(x - 1) (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36$

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5 \in / ⟨ 1, + \infty)$

$x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Zatem rozwiązaniem jest $x = 1 .$

Przypadek II.

$x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$

Wtedy mamy:

$x^{2} (- x + 1) + (x - 1) (4 x - 5) = 0$

$- x^{2} (x - 1) + (x - 1) (4 x - 5) = 0$

$(x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5) = 0$

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5) < 0$

Zatem jedynym rozwiązaniem jest:

$x - 1 = 0$

$x = 1 \in / (- \infty, 1)$

Zatem ostatecznie:

$x = 1$

$c)$

$x^{4} + 40 = 5 x^{3} + 8 x$

Przypadek I.

$5 x^{3} + 8 x \geq 0$

$x (5 x^{2} + 8) \geq 0$

$x \geq 0$

Wtedy mamy:

$x^{4} + 40 = 5 x^{3} + 8 x$

$x^{4} - 5 x^{3} - 8 x + 40 = 0$

$x^{3} (x - 5) - 8 (x - 5) = 0$

$(x^{3} - 8) (x - 5) = 0$

$x^{3} - 8 = 0 \lor x - 5 = 0$

$x^{3} = 8 \lor x = 5$

$x = 2 \lor x = 5$

Przypadek II.

$5 x^{3} + 8 x < 0$

$x < 0$

Wtedy mamy:

$x^{4} + 40 = - 5 x^{3} - 8 x$

$x^{4} + 5 x^{3} + 8 x + 40 = 0$

$x^{3} (x + 5) + 8 (x + 5) = 0$

$(x^{3} + 8) (x + 5) = 0$

$x^{3} + 8 = 0 \lor x + 5 = 0$

$x^{3} = - 8 \lor x = - 5$

$x = - 2 \lor x = - 5$

Zatem ostatecznie:

$x \in {- 5, - 2, 2, 5}$

$d)$

$2 x^{3} + 2 x^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Przypadek I.

$x^{2} - 1 \geq 0$

$(x - 1) (x + 1) \geq 0$

$x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

Wtedy mamy:

$2 x^{3} + 2 x^{2} + x^{2} - 1 = 0$

$2 x^{2} (x + 1) + (x - 1) (x + 1) = 0$

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{- 4}{4} = - 1$

$x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \in / (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

Zatem:

$x = - 1$

Przypadek II.

$x^{2} - 1 < 0$

$x \in (- 1, 1)$

Wtedy mamy:

$2 x^{3} + 2 x^{2} - x^{2} + 1 = 0$

$2 x^{2} (x + 1) - (x^{2} - 1) = 0$

$2 x^{2} (x + 1) - (x - 1) (x + 1) = 0$

$(x + 1) (2 x^{2} - (x - 1)) = 0$

$(x + 1) (2 x^{2} - x + 1) = 0$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 < 0$

Zatem:

$x + 1 = 0$

$x = - 1 \in / (- 1, 1)$

Zatem ostatecznie:

$x = - 1$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Działania na wyrażeniach algebraicznych – wyłączanie czynnika przed nawias

Premium

7:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania liniowe

Premium

10:39

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.