Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. o dwusiecznej otrzymujemy:

$\frac{3}{\left|AD\right|}=\frac{6}{\left|DB\right|}$  

$3\left|DB\right|=6\left|AD\right|$  

$\left|DB\right|=2\left|AD\right|$  

 

Oznaczmy:

$\left|AD\right|=x$  

Zał:  $x>0$  

Wtedy:

$\left|DB\right|=2x$  

---

$\text{a)}$  

Korzystając z tw. cosinusów dla trójkąta ABC mamy:

${\left|AB\right|}^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cdot \cos {120}^{\circ }$  

${\left(\left|AD\right|+\left|DB\right|\right)}^2=9+36-36\cdot \cos \left({90}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)$  

${\left(x+2x\right)}^2=45-36\cdot \left(-\sin {30}^{\circ }\right)$  

${\left(3x\right)}^2=45+18$  

$9x^2=63\mid :9$  

$x^2=7$  

$x=\sqrt{7}$  

Zatem otrzymujemy:

$\left|AD\right|=\sqrt{7}$  

---

$\text{b)}$  

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle DAC\right|=\alpha$  

 

Korzystając z tw. cosinusów dla trójkąta ABC:

$6^2=3^2+{\left(3\sqrt{7}\right)}^2-2\cdot 3\cdot 3\sqrt{7}\cdot \cos \alpha$  

$36=9+9\cdot 7-18\sqrt{7}\cos \alpha$  

$36=9+63-18\sqrt{7}\cos \alpha$  

$-36=-18\sqrt{7}\cos \alpha$  

$\frac{2}{\sqrt{7}}=\cos \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{4}{7}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{3}{7}\wedge \alpha \in \left(0^{\circ }{,180}^{\circ }\right)$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$  

 

Korzystając z tw. sinusów dla trójkąta ADC:

$\frac{\left|CD\right|}{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{7}}{\sin {60}^{\circ }}$  

$\frac{\left|CD\right|}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$  

$\left|CD\right|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$  

$\left|CD\right|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\mid \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$\left|CD\right|=2$