Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|PC\right|=\sqrt{75}$  

Oznaczmy:

$\left|PA\right|=3x$  

$\left|AB\right|=2x$  

---

$\text{a)}$  

Z tw. o stycznej i siecznej otrzymujemy:

${\left|PC\right|}^2=\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|$  

${\sqrt{75}}^2=3x\cdot \left(3x+2x\right)$  

$75=3x\cdot 5x$  

$75=15x^2$  

$5=x^2$  

$\sqrt{5}=x$  

 

Zatem otrzymujemy:

$\left|PA\right|=3x=3\sqrt{5}$  

$\left|AB\right|=2x=2\sqrt{5}$  

---

$\text{b)}$  

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle ACP\right|=\left|\sphericalangle PBC\right|$       ponieważ są to kąty: dopisany i wpisany oparte na tym samym łuku

$\left|\sphericalangle BPC\right|=\left|\sphericalangle CPA\right|$  

Łatwo pokazać, że trójkąty BPC i APC są podobne, ponieważ mają dwa kąty tej samej miary (zatem trzeci kąt również jest taki sam z sumy miar kątów w trójkącie). 

Rysunek pomocniczy:

Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy:

$\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{75}}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{5\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$  

$\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\sqrt{\frac{5}{3}}$