Twierdzenie:

W dowolnym trójkącie ABC, w którym  $C{D}^{\to }$   jest dwusieczną kąta zewnętrznego $ECB$   i punkt $D$   należy do prostej $AB$  , prawdziwa jest równość

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|CB\right|}$  

 

Dowód:

Poprowadźmy prostą równoległą do prostej CD przechodzącą przez punkt B. Punkt przecięcia tej prostej z odcinkiem AC oznaczmy jako F.

Zatem otrzymujemy:

$\left|\sphericalangle BCF\right|={180}^{\circ }-2\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie BCF mamy:

$\left|\sphericalangle FBC\right|={180}^{\circ }-\left({180}^{\circ }-2\alpha \right)-\alpha =\alpha$  

Zatem trójkąt BCF to trójkąt równoramienny, czyli mamy:

$\left|FC\right|=\left|BC\right|$  

 

Z tw. Talesa mamy:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AF\right|}{\left|FC\right|}$  

$\frac{\left|AB\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AF\right|}{\left|BC\right|}$

$\frac{\left|AB\right|}{\left|AF\right|}=\frac{\left|BD\right|}{\left|BC\right|}$    

oraz

$\frac{\left|AB\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\left|AF\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\left|AB\right|}{\left|AF\right|}=\mid A\frac{D}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\left|BD\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}$  

Co należało udowodnić.