Zauważmy, że jest to trójkąt ostrokątny, ponieważ jest spełniony warunek:

${10}^2+{10}^2>{12}^2$  

$100+100>144$  

$200>144$  

 

Rysunek pomocniczy:

 Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AB\right|=12\left[\text{cm}\right]$  

$\left|AC\right|=\left|BC\right|=10\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{a)}$  

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta AFC otrzymujemy:

$6^2+{\left|CF\right|}^2={10}^2$  

$36+{\left|CF\right|}^2=100$  

${\left|CF\right|}^2=64$  

$\left|CF\right|=8\left[\text{cm}\right]$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta AFO otrzymujemy:

$6^2+{\left|OF\right|}^2={\left|AO\right|}^2$  

$36+{\left(8-R\right)}^2=R^2$  

$36+64-16R+R^2=R^2$  

$100=16R$  

$\frac{100}{16}=R$  

$\frac{25}{4}=R$  

$6\frac{1}{4}\left[\text{cm}\right]=R$  

 

Zatem otrzymujemy:

$\left|OF\right|=8-R$  

$\left|OF\right|=8-6\frac{1}{4}$  

$\left|OF\right|=1\frac{3}{4}\left[\text{cm}\right]$  

Jest to odległość środka okręgu od podstawy trójkąta.

---

$\text{b)}$  

Wiemy, że środkowe dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka, zatem:

$\left|FG\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|CF\right|$  

$\left|FG\right|=\frac{1}{3}\cdot 8$  

$\left|FG\right|=\frac{8}{3}$  

$\left|FG\right|=2\frac{2}{3}\left[\text{cm}\right]$