Dane są dwa okręgi ...- Zadanie 12: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$o (O_{1}, 8 - a), o (O_{2}, 2 a - 1)$

Zał:

$8 - a > 0 \land 2 a - 1 > 0$

$8 > a \land a > \frac{1}{2}$

$a \in (\frac{1}{2}, 8)$

Z treści zadania wiemy, że:

$∣ O_{1} O_{2} ∣ = 3$

Okręgi mają co najmniej jeden punkt wspólny, zatem są to okręgi styczne zewnętrznie lub styczne wewnętrznie lub przecinające się.

Przypadek I.

Są to okręgi styczne zewnętrznie, czyli:

$∣ O_{1} O_{2} ∣ = r_{1} + r_{2}$

$3 = 8 - a + 2 a - 1$

$3 = a + 7$

$- 4 = a$

Sprzeczność

Przypadek II.

Są to okręgi styczne wewnętrznie, czyli:

$∣ O_{1} O_{2} ∣ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$3 = ∣ 8 - a - (2 a - 1) ∣$

$3 = ∣ 8 - a - 2 a + 1 ∣$

$3 = ∣ - 3 a + 9 ∣$

$3 = - 3 a + 9 \lor - 3 = - 3 a + 9$

$3 a = 6 \lor 3 a = 12$

$a = 2 \lor a = 4$

Przypadek III.

Są to okręgi przecinające się, czyli:

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ < ∣ O_{1} O_{2} ∣ < r_{1} + r_{2}$

$∣ 8 - a - (2 a - 1) ∣ < 3 < 8 - a + 2 a - 1$

$∣ 8 - a - 2 a + 1 ∣ < 3 < a + 7$

$∣ - 3 a + 9 ∣ < 3 < a + 7$

$∣ 3 a - 9 ∣ < 3 < a + 7$

$∣ 3 a - 9 ∣ < 3 \land 3 < a + 7$

$3 ∣ a - 3 ∣ < 3 \land - 4 < a$

$∣ a - 3 ∣ < 1 \land - 4 < a$

$a - 3 < 1 \land a - 3 > - 1 \land - 4 < a$

$a < 4 \land a > 2 \land - 4 < a$

$a \in (2, 4)$

Łącząc powyższe przypadki otrzymujemy:

$a \in ⟨ 2, 4 ⟩$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkt wspólny wykresu funkcji liniowej z osią Oy

Premium

12:15

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt (2)

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.