Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AB\right|=2\left[\text{m}\right]$  

$\left|CD\right|=1\left[\text{m}\right]$  

$\left|HE\right|=\left|GF\right|=x$  

$\left|EF\right|=\left|HG\right|=y$  

gdzie $x,y>0.$  

 

Pole serwety wyraża się wzorem  $P=xy.$  

Zauważmy, że  $\Delta HGC\sim \Delta ABC,$  zatem otrzymujemy:

$\frac{\left|HG\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|CI\right|}{\left|CD\right|}$  

$\frac{y}{2}=\frac{1-x}{1}$  

$y=2\left(1-x\right)$  

 

Zał:

$2\left(1-x\right)>0$  

$1-x>0$  

$1>x$  

Zatem:

$x\in \left(0,1\right)$  

 

Po podstawieniu  $y=2\left(1-x\right)$   do wzoru pola serwety otrzymujemy pole w zależności do wartości $x.$  

$P\left(x\right)=x\cdot 2\left(1-x\right)$  

$P\left(x\right)=2x-2x^2$  

Zauważmy, że wykresem tej funkcji jest parabola, której ramiona są skierowane w dół.

Funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku paraboli, zatem:

$x_w=\frac{-2}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$x=\frac{1}{2}$  

$y=2\left(1-x\right)=2\left(1-\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1$  

 

Odp. Wymiary serwety powinny wynosić  $\frac{1}{2}\text{m}$   oraz  $1\text{m}.$