II liceum

II technikum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Z treści zadania wiemy, że odcinek AB należy podzielić na pięć równych części. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fd9acdd4b6a0fa2ad6d7121daef5c2d695946dcef7265cec87861550d4df7d6e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fd9acdd4b6a0fa2ad6d7121daef5c2d695946dcef7265cec87861550d4df7d6e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c63b5bbb07245cd1ba40b4517aaab0d46b28237f762195b1b46d04c78c51f283_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c63b5bbb07245cd1ba40b4517aaab0d46b28237f762195b1b46d04c78c51f283_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe4d59823e54286aba0cdb245e566bdef0e146895b0d41d2c800a882b95e41fe_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe4d59823e54286aba0cdb245e566bdef0e146895b0d41d2c800a882b95e41fe_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7a9e58c1d62b14ab2a2e4a76b43f1da2819fa2b4fb392011f123a6bc30c3fcfc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7a9e58c1d62b14ab2a2e4a76b43f1da2819fa2b4fb392011f123a6bc30c3fcfc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4dfc2a2c86a3fa5ca01bd819c9ae3c697465fba2f048720579fae47fe11e484_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4dfc2a2c86a3fa5ca01bd819c9ae3c697465fba2f048720579fae47fe11e484_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8075922a98308b039ef4cde06ff146e47c8def0a9f3d24f195b2b004d14dac3f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8075922a98308b039ef4cde06ff146e47c8def0a9f3d24f195b2b004d14dac3f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Prosta równoległa do prostej k jest postaci (ma taki sam współczynnik kierunkowy):&nbsp;&nbsp;

Symetralna odcinka AB to prosta prostopadła do prostej AB przechodząca przez jej środek. Wyznaczmy środek odcinka AB.&nbsp; &nbsp;

Wiemy, że prosta k jest nachylona do osi OX pod kątem 60o, zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02395b83d32e7d25aa32f31ef264f08fe65e1a913c967c32da070728bff7b704_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02395b83d32e7d25aa32f31ef264f08fe65e1a913c967c32da070728bff7b704_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem prosta k jest postaci:&nbsp;

Wyznaczmy długości boków tego trójkąta. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/542b3d2924d7c7723db99e88a08f19d4842903496f32213823a4132f98c6138c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/542b3d2924d7c7723db99e88a08f19d4842903496f32213823a4132f98c6138c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Wyznaczmy środek okręgu o. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/998139996e4e27ec2461af8db1f921ee757a66ef01e7c339e9eaa835cfdeb303_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/998139996e4e27ec2461af8db1f921ee757a66ef01e7c339e9eaa835cfdeb303_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1bb0798319d2f215db9999ff0e2e259a86e0d0ffaa6d1df94adf9e5c581e80ef_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1bb0798319d2f215db9999ff0e2e259a86e0d0ffaa6d1df94adf9e5c581e80ef_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;&nbsp;

Wyznaczmy współrzędne punktu przecięcia prostych k i l. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7a5ae0729cd184a64c8fd4c3a960812c48333406a2c25814f3b3f458a2e1c351_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7a5ae0729cd184a64c8fd4c3a960812c48333406a2c25814f3b3f458a2e1c351_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7cbf3db6b6799e75f8a41ee8ebbc9e726b4fd261e589104547abb17c47132e14_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7cbf3db6b6799e75f8a41ee8ebbc9e726b4fd261e589104547abb17c47132e14_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d24337e659b6c3244e60bf1074caeb542a7d11d5e0e0afd8873edb96efc6d65a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d24337e659b6c3244e60bf1074caeb542a7d11d5e0e0afd8873edb96efc6d65a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/01856bb777d1117b0fa7f541117b1bba846d91fcccc484cc32e0fca318d1de6c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/01856bb777d1117b0fa7f541117b1bba846d91fcccc484cc32e0fca318d1de6c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a7102c257a6a5c190aeae37a46c062a433f89cf21418ca9635e5341481c9aae_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a7102c257a6a5c190aeae37a46c062a433f89cf21418ca9635e5341481c9aae_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef50c042eebfbccd6e9105d0923fbc7eaca33fddfda7fcbaef4e2b6a1a1456c5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef50c042eebfbccd6e9105d0923fbc7eaca33fddfda7fcbaef4e2b6a1a1456c5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bdf4252995c558442e8b44b737e271ffa48eac846c949f1560d7e845868efd55_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bdf4252995c558442e8b44b737e271ffa48eac846c949f1560d7e845868efd55_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Równanie okręgu o środku <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/43c42b443b4ad419e9e7453035fc090757b23b89fa2ef460ead950704c29d3f9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/43c42b443b4ad419e9e7453035fc090757b23b89fa2ef460ead950704c29d3f9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; i promieniu&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/24b35273deace544eb0dd12323d1408b5382eb7859df83118212ef3000edccb0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/24b35273deace544eb0dd12323d1408b5382eb7859df83118212ef3000edccb0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bff9947982df7baf239c48cc837abd11e04f204f43b4d319f1db5a2c264bf023_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bff9947982df7baf239c48cc837abd11e04f204f43b4d319f1db5a2c264bf023_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wykażemy, że punkt <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/47e92304dd7561de1604fa48edd1594cbde911a6aed58a180d27061bee0d4740_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/47e92304dd7561de1604fa48edd1594cbde911a6aed58a180d27061bee0d4740_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; należy do tego okręgu. Podstawiając współrzędne punktu A otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/adf04b2d1139646227d9210bfa6199d2da68e2956798297ae305473c9a5f3c2c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/adf04b2d1139646227d9210bfa6199d2da68e2956798297ae305473c9a5f3c2c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe339d7aced77eba1519df3580ab92eaeee94f89fbd28c712bb326ba6878d1d3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe339d7aced77eba1519df3580ab92eaeee94f89fbd28c712bb326ba6878d1d3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe609b33cc3716e232ef2a9ef74695902319400ec0c5595cc633b51f1332acda_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe609b33cc3716e232ef2a9ef74695902319400ec0c5595cc633b51f1332acda_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9c210de08544e2861dc0be942e19f1429176877c4cc75dc0ce7aaaf875de66f9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9c210de08544e2861dc0be942e19f1429176877c4cc75dc0ce7aaaf875de66f9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem pokazaliśmy, że punkt A należy do tego okręgu.

Wiemy, że środek szukanego okręgu leży na prostej <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eb3385a2f95839f6303ed7f9c353b21f07b311a3e77f51c4e6b8976417e12598_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eb3385a2f95839f6303ed7f9c353b21f07b311a3e77f51c4e6b8976417e12598_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d5ba5973596a469be774d4564e234ac9c2ea286367b0face5c4ff917957ae38b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d5ba5973596a469be774d4564e234ac9c2ea286367b0face5c4ff917957ae38b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f819d5a111258ba28cc4d05801aa28b1e724164b45eb0f635cdf1b47ff834e6b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f819d5a111258ba28cc4d05801aa28b1e724164b45eb0f635cdf1b47ff834e6b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Z treści zadania wiemy, że wysokość CD zawiera się w osi odciętych, zatem punkt C jest postaci&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6f7dc0ccb3e6ffaeae334f6f27f8b0e65e9c9d6ec8ca66f23c62404886b27e21_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6f7dc0ccb3e6ffaeae334f6f27f8b0e65e9c9d6ec8ca66f23c62404886b27e21_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wiemy, że trójkąt ABC jest prostokątny, zatem prosta AC jest prostopadła do prostej BC.&nbsp;

Oznaczmy środek szukanego okręgu: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dac76eec59edee92111d04a35c9caf5d6965412aee2a9bcbcb8e032975d83b26_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dac76eec59edee92111d04a35c9caf5d6965412aee2a9bcbcb8e032975d83b26_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/50408db843482fa7eed29b6502b9b852a012a218f7ecfbba0e54f6ba427e9450_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/50408db843482fa7eed29b6502b9b852a012a218f7ecfbba0e54f6ba427e9450_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Z pierwszej równości mamy:&nbsp; &nbsp;

Komentarze