Dane są odcinki, np. o długościach a,b (a<b), np. takie jak na poniższym rysunku

---

 

a) Zauważmy, że

$x=\sqrt{a^2+b^2}\mid {}^2$

$x^2=a^2+b^2$   

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że szukany odcinek jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b. 

Wystarczy więc skonstruować taki trójkąt

W tym celu:

1) Kreślimy dwie proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oznaczmy przez A.

2) Na jednej z nich odkładamy odcinek o długości a, tak by początkiem tego odcinka był punkt A. Koniec tego odcinka oznaczmy przez B.

3) Na drugiej prostej  odkładamy odcinek o długości b, tak by początkiem tego odcinka był punkt A. Koniec tego odcinka oznaczmy przez C.

4) Kreślimy odcinek BC. Otrzymany trójkąt ABC jest prostokątny. Przeciwprostokątna BC jest szukanej długości

$\left|BC\right|=\sqrt{a^2+b^2}$  

---

b) Zauważmy, że

$x=\sqrt{b^2-a^2}\mid {}^2$

$x^2=b^2-a^2\mid +a^2$

$x^2+a^2=b^2$

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że szukany odcinek jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego, którego druga przyprostokątna ma długość a, natomiast przeciwprostokątna ma długość b. 

Wystarczy więc skonstruować taki trójkąt.

W tym celu:

1) Kreślimy dwie proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oznaczmy przez A. 

2) Z punktu A na jednej z prostych okładamy odcinek o długości a. Koniec tego odcinka oznaczmy przez B. 

3) Z punktu B kreślimy okrąg o promieniu b. Punkt przecięcia okręgu z drugą prostą oznaczmy przez C. 

Otrzymany trójkąt ABC jest prostokątny. Odcinek AC ma szukaną długość

$\left|AC\right|=\sqrt{b^2-a^2}$  

---

c) 

$x=\sqrt{2a^2+b^2}\mid {}^2$

$x^2=2a^2+b^2$

$x^2={\left(\sqrt{2}a\right)}^2+b^2$  

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że szukany odcinek jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości  $b\text{i}a\sqrt{2}$  

Zauważmy jeszcze, że

$y=a\sqrt{2}\mid {}^2$

$y^2=2a^2$  

$y^2=a^2+a^2$   

Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy, że odcinek o długości

$a\sqrt{2}$

jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a. 

Najpierw skonstruujmy odcinek o długości

$a\sqrt{2}$

a następnie skonstruujemy szukany odcinek o długości

$\sqrt{2a^2+b^2}$   

 

Konstruujemy odcinek o długości  $a\sqrt{2}$  

1) Kreślimy dwie proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oznaczmy przez O. 

2) Kreślimy okrąg o środku w punkcie O i promieniu o długości a. Punkty przecięcia okręgu z prostymi oznaczmy przez S i S'. 

3) Kreślimy odcinek SS'.  Długość odcinka SS' jest równa

$\left|SS\right|=a\sqrt{2}$  

 

Konstruujemy odcinek o długości  $\sqrt{2a^2+b^2}$  :

1) Kreślimy proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oznaczmy przez A.

2) Na jednej z nich odkładamy odcinek o długości b, w ten sposób by początkiem odcinka był punkt A. Koniec tego odcinka oznaczmy przez B.

3) Na drugiej prostej odkładamy odcinek SS' o długości  $a\sqrt{2}$  ,  tak by początkiem tego odcinka był punkt A. Koniec tego odcinka oznaczmy przez C.

4) Kreślimy odcinek BC. Otrzymany trójkąt ABC jest prostokątny. Przeciwprostokątna BC jest szukanej długości

$\left|BC\right|=\sqrt{2a^2+b^2}$