Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że trójkąt ADC to trójkąt równoramienny prostokątny, zatem:

$\left|AD\right|=\left|CD\right|$  

oraz

$\left|AD\right|\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$  

$\left|AD\right|=3$  

 

Zauważmy, że trójkąt DBC to trójkąt prostokątny o kątach 30^o, 60^o, 90^o, zatem:

$\left|DB\right|\cdot \sqrt{3}=\left|CD\right|$  

$\left|DB\right|\cdot \sqrt{3}=3$  

$\left|DB\right|=\frac{3}{\sqrt{3}}$  

$\left|DB\right|=\frac{3\sqrt{3}}{3}$  

$\left|DB\right|=\sqrt{3}$  

oraz

$\left|BC\right|=2\cdot \left|DB\right|$  

$\left|BC\right|=2\sqrt{3}$  

---

$\text{a)}$  

Wyznaczmy obwód tego trójkąta.

$L_{ABC}=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|=3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=3+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}=3\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$  

---

$\text{b)}$  

Zauważmy, że wysokość poprowadzoną z wierzchołka C już wyznaczyliśmy.

$\left|CD\right|=3$  

 

Obliczmy pole tego trójkąta.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|CD\right|$  

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left(3+\sqrt{3}\right)\cdot 3=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$  

 

Obliczmy wysokość h₂ poprowadzoną z wierzchołka A.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot h_2$  

$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot h_2\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=h_2$  

$\frac{9\sqrt{3}+9}{2\cdot 3}=h_2$  

$\frac{9\sqrt{3}+9}{6}=h_2$  

$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}=h_2$  

 

Obliczmy wysokość h₃ poprowadzoną z wierzchołka B.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot h_3$  

$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot h_3\mid \cdot 2$  

$9+3\sqrt{3}=3\sqrt{2}\cdot h_3\mid :3\sqrt{2}$  

$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=h_3$  

$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}=h_3$