Pokażemy, że trójąty OBP i OPA są przystające.

Zauważmy, że:  

$\left|AO\right|=\left|OB\right|=r$  

$\left|OP\right|=\left|OP\right|$  

$\left|\sphericalangle APO\right|=\left|\sphericalangle OPB\right|={90}^{\circ }$  

Zauważmy, że mamy dwa trójkąty prostokątne, których odpowiednie dwa boki trójkąta APO są takiej samej długości jak odpowiednie dwa boki trójkąta OPB, zatem pozostały trzeci bok trójkąta APO jest równy pozostałemu trzeciemu bokowi trójkąta OPB, zatem:

$\left|AP\right|=\left|PB\right|$  

Co należało pokazać.