Wprowadźmy oznaczenia:

$x$  -pierwsza z szukany liczb

$x-\frac{p}{6}$  -druga z szukanych liczb

$p-x-\left(x-\frac{p}{6}\right)$  -trzecia z szukanych liczb

 

Uprośćmy postać trzeciej z szukanych liczb:

$p-x-\left(x-\frac{p}{6}\right)=p-x-x+\frac{x}{6}=p-2x+\frac{p}{6}$  

 

Obliczmy sumę kwadratów tych liczb:

$x^2+{\left(x-\frac{p}{6}\right)}^2+{\left(p-2x+\frac{p}{6}\right)}^2=x^2+x^2-\frac{xp}{3}+\frac{p^2}{36}+\left(p-2x+\frac{p}{6}\right)\left(p-2x+\frac{p}{6}\right)=$  

$2x^2-\frac{xp}{3}+\frac{p^2}{36}+p^2-2xp+\frac{p^2}{6}-2xp+4x^2-\frac{px}{3}+\frac{p^2}{6}-\frac{xp}{3}+\frac{p^2}{36}=6x^2-5xp+\frac{25p^2}{18}$  

 

Zauważmy, że funkcja:

$f\left(x\right)=6x^2-5xp+\frac{25p^2}{18}$  

to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę,

zatem funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku.

 

Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f:

$x_w=-\frac{-5p}{2\cdot 6}=\frac{5p}{12}$  

zatem:

$x=\frac{5p}{12}$  

 

Obliczmy wartości pozostałych dwóch składników tej sumy:

$x-\frac{p}{6}=\frac{5p}{12}-\frac{p}{6}=\frac{5p}{12}-\frac{2p}{12}=\frac{3p}{12}=\frac{p}{4}$  

$p-2x+\frac{p}{6}=p-2\cdot \frac{5p}{12}+\frac{p}{6}=p-\frac{5p}{6}+\frac{p}{6}=\frac{2p}{6}=\frac{p}{3}$  

 

zatem liczbę p rozłożono w następujący sposób:

$p=\frac{5p}{12}+\frac{p}{4}+\frac{p}{3}$