Rozwiąż nierówność...- Zadanie 11.8: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x - 3 \neq = 0 i x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 3 i x \neq = 2$

$D = R - {2, 3}$

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{3 x - 1}{x - 3} \leq \frac{2 x - 1}{x - 2} ∣ \cdot (x - 2)^{2} (x - 3)^{2}$

$(3 x - 1) (x - 2)^{2} (x - 3) \leq (2 x - 1) (x - 2) (x - 3)^{2}$

$(3 x - 1) (x - 2)^{2} (x - 3) - (2 x - 1) (x - 2) (x - 3)^{2} \leq 0$

$(x - 2) (x - 3) [(3 x - 1) (x - 2) - (2 x - 1) (x - 3)] \leq 0$

$(x - 2) (x - 3) [3 x^{2} - 6 x - x + 2 - (2 x^{2} - 6 x - x + 3)] \leq 0$

$(x - 2) (x - 3) (3 x^{2} - 6 x - x + 2 - 2 x^{2} + 6 x + x - 3) \leq 0$

$(x - 2) (x - 3) (x^{2} - 1) \leq 0$

$(x - 2) (x - 3) (x - 1) (x + 1) \leq 0$

$x \in ⟨ - 1, 1 ⟩ \cup (2, 3)$

b) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$4 x - 2 \neq = 0 ∣ : 2 i 2 x - 1 \neq = 0$

$2 x - 1 \neq = 0$

$x \neq = \frac{1}{2}$

$D = R - {\frac{1}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{3 x + 1}{4 x - 2} \leq \frac{x + 2}{2 x - 1}$

$\frac{3 x + 1}{2 ( 2 x - 1 )} \leq \frac{x + 2}{2 x - 1} ∣ \cdot 2 (2 x - 1)^{2}$

$(3 x + 1) (2 x - 1) \leq 2 (x + 2) (2 x - 1)$

$6 x^{2} - 3 x + 2 x - 1 \leq 2 (2 x^{2} - x + 4 x - 2)$

$6 x^{2} - x - 1 \leq 4 x^{2} + 6 x - 4$

$2 x^{2} - 7 x + 3 \leq 0$

Zamieniamy trójmian 2x²-7x+3 na postać iloczynową:

$Δ = 49 - 24 = 25, Δ = 5$

$x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2} lub x = \frac{7 + 5}{4} = 3$

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$

Wracamy do rozwiązywania nierówności:

$2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3) \leq 0$

$x \in (\frac{1}{2}, 3 ⟩$

c) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x - 1 \neq = 0 i x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 1 i x \neq = - 1$

$D = R - {- 1, 1}$

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{3 x - 1}{x - 1} \leq \frac{x + 7}{x + 1} ∣ \cdot (x - 1)^{2} (x + 1)^{2}$

$(3 x - 1) (x - 1) (x + 1)^{2} \leq (x + 7) (x + 1) (x - 1)^{2}$

$(3 x - 1) (x - 1) (x + 1)^{2} - (x + 7) (x + 1) (x - 1)^{2} \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) [(3 x - 1) (x + 1) - (x + 7) (x - 1)] \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) [3 x^{2} + 3 x - x - 1 - (x^{2} - x + 7 x - 7)] \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) [3 x^{2} + 2 x - 1 - (x^{2} + 6 x - 7)] \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) [3 x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} - 6 x + 7)] \leq 0$

$(x - 1) (x + 1) [2 x^{2} - 4 x + 6] \leq 0$

Zamieniamy trójmian 2x²-4x+6 na postać iloczynową:

$Δ = 16 - 48 < 0$

zatem:

$2 x^{2} - 4 x + 6 > 0, x \in R$

Wracamy do rozwiązywania nierówności:

$(x - 1) (x + 1) [2 x^{2} - 4 x + 6] \leq 0 ∣ : (2 x^{2} - 4 x + 6) (2 x^{2} - 4 x + 6 > 0)$

$(x - 1) (x + 1) \leq 0$

$x \in (- 1, 1)$

d) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x + 5 \neq = 0 ∣ : 2 i 5 (x + 2) \neq = 0$

$x \neq = - 5 i x \neq = - 2$

$D = R - {- 5, - 2}$

Rozwiązujemy nierówność:

`(x+2)/(x+5)

`5(x+2)(x+5)(x+2)^2

$5 (x + 2)^{3} (x + 5) - (x + 5)^{2} (3 x + 8) (x + 2) < 0$

$(x + 2) (x + 5) [5 (x + 2)^{2} - (x + 5) (3 x + 8)] < 0$

$(x + 2) (x + 5) [5 x^{2} + 20 x + 20 - (3 x^{2} + 8 x + 15 x + 40)] < 0$

$(x + 2) (x + 5) [5 x^{2} + 20 x + 20 - 3 x^{2} - 8 x - 15 x - 40] < 0$

$(x + 2) (x + 5) [2 x^{2} - 3 x - 20] < 0$

Zamieniamy trójmian 2x²-3x-20 na postać iloczynową:

$Δ = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 20) = 9 + 160 = 169, Δ = 13$

$x = \frac{3 - 13}{4} = \frac{- 10}{4} = - 2 \frac{1}{2} lub x = \frac{3 + 13}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 2 (x + 2 \frac{1}{2}) (x - 4)$

Wracamy do rozwiązywania nierówności:

$2 (x + 2) (x + 5) (x + 2 \frac{1}{2}) (x - 4) < 0$

$x \in (- 5, - 2 \frac{1}{2}) \cup (- 2, 4)$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.