a)

$2\cdot 2^{x-1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}+1$  

 

$L=2\cdot 2^{x-1}=2^1\cdot 2^{x-1}=2^{1+x-1}=2^x=f\left(x\right)$   

$P={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}+1=g\left(x\right)$    

 

Rysujemy wykres funkcji  $f\left(x\right)=2^x:$  

 

 

 

Narysujmy wykres funkcji  $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  , a następnie przesuńmy go o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w górę - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji  $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}+1:$  

  

Rozwiązaniem równania jest argument, dla którego wykresy funkcji f(x) i g(x) się przecinają:

$x=1$   

 

b)

$25\cdot 5^x-1=3-x$   

$5^2\cdot 5^x=4-x$  

$5^{x+2}=4-x$   

$f\left(x\right)=5^{x+2}$  

$g\left(x\right)=4-x$  

 

Narysujmy wykres funkcji  $y=5^x,$   a następnie przesuńmy go o 2 jednostki w lewo - w ten sposób otrzymamy wykres funkcji f(x):     

 

Rysujemy wykres prostej  $g\left(x\right)=-x+4:$  

 

Rozwiązaniem równania jest liczba:

$x=-1$  

 

 

c)

${\left(\frac{1}{3}\right)}^x-2=x^2$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=x^2+2$  

$f\left(x\right)=x^2+2$  

$g\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$  

  

Narysujmy parabolę  $y=x^2,$   a następnie przesuńmy ją o dwie jednostki w górę:  

 

Rysujemy wykres funkcji  $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$  :

 

$x=-1$   

 

d)

$3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x-2>1$   

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x>3$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}>3$  

 

$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}$  

$g\left(x\right)=3$  

 

Naszkicujmy szkic funkcji  $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x,$  a następnie przesuńmy go 1 jednostkę w prawo:

    

Interesują nas argumenty, dla których prawdziwa jest równość  $f\left(x\right)>3$  

$x\in \left(\infty ;0\right)$  

 

 

e)  

$\frac{3^{x+2}}{27}>5\cdot 5^{x-1}-4$  

 

$\frac{3^{x+2}}{3^3}>5^1\cdot 5^{x-1}-4$  

 

$3^{x+2-3}>5^{1+x-1}-4$  

 

$3^{x-1}>5^x-4$    

  

$3^{x-1}=f\left(x\right)$     

$5^x-4=g\left(x\right)$  

 

Naszkicujmy wykresy obu funkcji:

 

Interesują nas argumenty, dla których zachodzi nierówność  $f\left(x\right)>g\left(x\right)$   (czyli argumenty, dla których czerwony wykres znajduje się nad niebieskim)

$x\in \left(-\infty ;1\right)$  

 

 

f)

$25\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^x-3\ge \frac{1}{16}\cdot 2^{x+5}-2$  

 

$5^2\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^x-3\ge 2^{-4}\cdot 2^{x+5}-2$      

 

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^x-3\ge 2^{-4+x+5}-2$  

 

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-2}\ge 2^{x+1}+1$   

 

$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-2}$  

$g\left(x\right)=2^{x+1}+1$  

 

Wykresy:

           

Interesują nas argumenty, dla których zachodzi nierówność  $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$   (czyli argumenty, dla których czerwony wykres znajduje się nad niebieskim, lub wykresy się przecinają)

$x\in (-\infty ;1⟩$