Rozpatrzmy trzy przypadki:

 

W trójkącie ABC przyprostokątne mają długości |AC|=8 oraz |BC|=6.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość prtzeciwprostokątnej AB.

${\left|AB\right|}^2=8^2+6^2$  

${\left|AB\right|}^2=64+36$  

${\left|AB\right|}^2=100$  

$\left|AB\right|=10$  

 

Wiemy, że jeden z boków trójkąta KLM ma długość równa 6 - możemy więc zapisać:

$\left|KM\right|=\left|BC\right|=6$  

 

Trójkąty ABC oraz KLM są podobne, czyli odpowiadające sobie długości boków są proporcjonalne.

Rozpatrzmy pierwszy przypadek:

Bok KM jest krótszą przyprostokątną.

Obliczmy stosunek krótszych przyprostokątnych w obu trójkątach:

$\frac{\left|BC\right|}{\left|KM\right|}=\frac{6}{6}=1$  

Odpowiadające sobie długości pozostałych boków także mają stosunek równy 1.

$\frac{\left|CA\right|}{\left|KL\right|}=\frac{8}{\left|KL\right|}$  

$\frac{8}{\left|KL\right|}=1$  

$\left|KL\right|=8$  

$\underline{}$  

$\frac{\left|BA\right|}{\left|ML\right|}=\frac{10}{\left|ML\right|}$  

$\frac{10}{\left|ML\right|}=1$  

$\left|ML\right|=10$  

 

Boki w trójkącie KLM moga mieć długości równe 6, 8 oraz 10.

$\underline{\underline{}}$  

Rozpatrzmy drugi przypadek:

Bok KM jest dłuższą przyprostokątną.

Obliczmy stosunek dłuższych przyprostokątnych w obu trójkątach:

$\frac{\left|CA\right|}{\left|KM\right|}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$  

Odpowiadające sobie długości pozostałych boków także mają stosunek równy ⁴/₃.

$\frac{\left|CB\right|}{\left|LM\right|}=\frac{6}{\left|LM\right|}$  

$\frac{6}{\left|LM\right|}=\frac{4}{3}$  

$4\left|LM\right|=18$  

$\left|LM\right|=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}=4,5$   

$\underline{}$  

$\frac{\left|AB\right|}{\left|KL\right|}=\frac{10}{\left|KL\right|}$  

$\frac{10}{\left|KL\right|}=\frac{4}{3}$  

$4\left|KL\right|=30$   

$\left|LM\right|=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}=7,5$   

 

Boki w trójkącie KLM moga mieć długości równe 4,5;  6 oraz 7,5.

$\underline{\underline{}}$  

Rozpatrzmy trzeci przypadek:

Bok KM jest przeciwprostokatną.

Obliczmy stosunek przeciwprostokątnych w obu trójkątach:

$\frac{\left|BA\right|}{\left|KM\right|}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$  

Odpowiadające sobie długości pozostałych boków także mają stosunek równy ⁵/₃.

$\frac{\left|CB\right|}{\left|KL\right|}=\frac{6}{\left|KL\right|}$  

$\frac{6}{\left|KL\right|}=\frac{5}{3}$  

$5\left|KL\right|=18$   

$\left|KL\right|=\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}=3,6$   

$\underline{}$  

$\frac{\left|CA\right|}{\left|LM\right|}=\frac{8}{\left|LM\right|}$  

$\frac{8}{\left|LM\right|}=\frac{5}{3}$  

$5\left|KL\right|=24$   

$\left|KL\right|=4\frac{4}{5}=4,8$   

 

Boki w trójkącie KLM moga mieć długości równe 3,6;  4,8 oraz 6.